Многозначная функция

Эта статья о многозначных функциях, которые рассматриваются в математическом анализе. Для многозначных функций, рассматриваемых в вариационном анализе, см. многозначную функцию .

Не путать с многомерной функцией .

Многозначная функция {1,2,3} → {a,b,c,d}.

В математике ( многозначная функция также известная как многозначная функция) — это функция, которая имеет два или более значений в своем диапазоне хотя бы для одной точки своей области определения. Это функция с множеством значений с дополнительными свойствами в зависимости от контекста. термины многофункциональность и многозначная функция Иногда также используются .

множеств Многозначная функция f : X → Y — это подмножество

$\Gamma _{f}\ \subseteq \ X\times Y.$

Обозначим f(x) множество тех y ∈ Y, для которых ( x,y ) ∈ Γ _f . Если f — обычная функция, то это многозначная функция, если взять ее график

$\Gamma _{f}\ =\ \{(x,f(x))\ :\ x\in X\}.$

Чтобы отличить их, их называют однозначными функциями .

Мотивация

Термин многозначная функция возник в комплексном анализе, от аналитического продолжения . Часто бывает, что известно значение сложной аналитической функции. $f(z)$ в некоторой окрестности точки $z=a$. Это относится к функциям, определенным теоремой о неявной функции или рядом Тейлора вокруг $z=a$. В такой ситуации можно расширить область определения однозначной функции $f(z)$ вдоль кривых в комплексной плоскости, начиная с $a$. При этом обнаруживается, что значение расширенной функции в точке $z=b$ зависит от выбранной кривой от $a$ к $b$; поскольку ни одно из новых значений не является более естественным, чем другие, все они включены в многозначную функцию.

Например, пусть $f(z)={\sqrt {z}}\,$ быть обычной функцией квадратного корня для положительных действительных чисел. Можно расширить его область действия до окрестностей $z=1$ в комплексной плоскости, а затем далее по кривым, начиная с $z=1$, так что значения вдоль данной кривой непрерывно изменяются от ${\sqrt {1}}=1$. Переходя к отрицательным действительным числам, можно получить два противоположных значения квадратного корня — например, ± i для –1 — в зависимости от того, была ли область расширена через верхнюю или нижнюю половину комплексной плоскости. Это явление очень частое и встречается для n-й корней степени , логарифмов и обратных тригонометрических функций .

Чтобы определить однозначную функцию из сложной многозначной функции, можно выделить одно из нескольких значений в качестве главного значения , создавая однозначную функцию на всей плоскости, которая является разрывной вдоль определенных граничных кривых. Альтернативно, работа с многозначной функцией позволяет иметь что-то, что везде непрерывно, за счет возможных изменений значений, когда мы следуем по замкнутому пути ( монодромия ). Эти проблемы решаются в теории римановых поверхностей : рассмотреть многозначную функцию $f(z)$ как обычную функцию, не отбрасывая никаких значений, область умножается на многослойное накрывающее пространство , многообразие , которое представляет собой риманову поверхность, связанную с $f(z)$.

Обратные функции

Если f : X → Y — обычная функция, то ее обратная функция — многозначная функция

$\Gamma _{f^{-1}}\ \subseteq \ Y\times X$

определяется как Γ _f , рассматриваемый как подмножество X × Y . Когда f — дифференцируемая функция между многообразиями , теорема об обратной функции чтобы она была однозначной локально в X. дает условия для того ,

Например, комплексный логарифм log(z) является многозначной обратной экспоненциальной функцией e ^С : С → С ^× , с графиком

$\Gamma _{\log(z)}\ =\ \{(z,w)\ :\ w=\log(z)\}\ \subseteq \ \mathbf {C} \times \mathbf {C} ^{\times }.$

Это не однозначное значение, учитывая один w с w = log(z) , мы имеем

$\log(z)\ =\ w\ +\ 2\pi i\mathbf {Z} .$

Для любой голоморфной функции на открытом подмножестве комплексной плоскости C ее аналитическое продолжение всегда является многозначной функцией.

Конкретные примеры

• Каждое действительное число больше нуля имеет два действительных квадратных корня , поэтому квадратный корень можно считать многозначной функцией. Например, мы можем написать ${\sqrt {4}}=\pm 2=\{2,-2\}$; хотя ноль имеет только один квадратный корень, ${\sqrt {0}}=\{0\}$.
• Каждое ненулевое комплексное число имеет два квадратных корня, три кубических корня и, как правило, n -й корни степени . Единственный корень n-й степени из 0 равен 0.
• Функция комплексного логарифма является многозначной. Значения, принятые $\log(a+bi)$ для действительных чисел $a$ и $b$ являются $\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni$ для всех целых чисел $n$.
• Обратные тригонометрические функции являются многозначными, поскольку тригонометрические функции периодичны. У нас есть $$\tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(2n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1.$$ Как следствие, arctan(1) интуитивно связан с несколькими значениями: π /4, 5 π /4, −3 π /4 и так далее. Мы можем рассматривать arctan как однозначную функцию, ограничивая область определения tan x до − π /2 < x < π /2 – областью, в которой tan x монотонно возрастает. Таким образом, диапазон arctan( x ) становится − π /2 < y < π /2 . Эти значения из ограниченной области называются основными значениями .
• Первообразную можно рассматривать как многозначную функцию. Первообразная функции — это набор функций, производной которых является эта функция. Константа интегрирования следует из того, что производная постоянной функции равна 0.
• Обратные гиперболические функции в комплексной области являются многозначными, поскольку гиперболические функции периодичны вдоль мнимой оси. Над реалами они однозначные, кроме аркоша и арсеча.

Все это примеры многозначных функций, возникающих из неинъективных функций . Поскольку исходные функции не сохраняют всю информацию о своих входах, они необратимы. Часто ограничение многозначной функции является частичной инверсией исходной функции.

Точки ветвления

Основная статья: Точка ветвления

Многозначные функции комплексной переменной имеют точки ветвления . Например, для функций корня n и логарифма 0 является точкой ветвления; для функции арктангенса мнимые единицы i и - i являются точками ветвления. Используя точки ветвления, эти функции можно переопределить как однозначные функции, ограничив диапазон. Подходящий интервал можно найти с помощью разреза ветвления — своего рода кривой, которая соединяет пары точек ветвления, тем самым сводя многослойную риманову поверхность функции к одному слою. Как и в случае с реальными функциями, ограниченный диапазон можно назвать главной ветвью функции.

Приложения

В физике многозначные функции играют все более важную роль. Они составляют математическую основу , Дирака магнитных монополей теории дефектов в кристаллах и связанной с ними пластичности материалов, вихрей в сверхжидких средах и сверхпроводниках , а также фазовых переходов в этих системах, например плавления и удержания кварков . Они являются источником структур калибровочного поля во многих разделах физики.

Дальнейшее чтение

• Х. Кляйнерт , Многозначные поля в конденсированном веществе, электродинамике и гравитации , World Scientific (Сингапур, 2008 г.) (также доступно в Интернете )
• Х. Кляйнерт , Калибровочные поля в конденсированном состоянии , Vol. I: Суперпоток и вихревые линии, 1–742, Том. II: Напряжения и дефекты, 743–1456, World Scientific, Сингапур, 1989 (также доступно в Интернете: Том I и Том II )