Инвариант Кервера

В математике инвариант Кервера — это инвариант оснащенного $(4k+2)$ -мерное многообразие , которое определяет, можно ли хирургическим путем преобразовать это многообразие в сферу. Этот инвариант равен 0, если многообразие можно преобразовать в сферу, и 1 в противном случае. Этот инвариант был назван в честь Мишеля Кервера, который основывался на работе Каита Арфа .

Инвариант Кервера определяется как инвариант Арфа на косоквадратичной формы средней размерности группе гомологий . Ее можно рассматривать как односвязную квадратичную L-группу. $L_{4k+2}$ , и, таким образом, аналогичен другим инвариантам из L-теории: сигнатуре , a $4k$ -мерный инвариант (симметричный или квадратичный, $L^{4k}\cong L_{4k}$ ) и инвариант Де Рама , a $(4k+1)$ -мерный симметричный инвариант $L^{4k+1}$ .

В любом данном измерении есть только две возможности: либо все многообразия имеют инвариант Арфа–Кервера, равный 0, либо половина имеет инвариант Арфа–Кервера 0, а другая половина имеет инвариант Арфа–Кервера 1.

Проблема инварианта Кервера — это проблема определения, в каких измерениях инвариант Кервера может быть отличным от нуля. Для дифференцируемых многообразий это может произойти в размерностях 2, 6, 14, 30, 62 и, возможно, 126, и ни в каких других измерениях. 30 мая 2024 года Чжоули Сюй (в сотрудничестве с Вэйнаном Линем и Гочжэнь Ваном) объявил во время семинара в Принстонском университете, что окончательный случай измерения 126 решен. Сюй заявил, что $h_{6}^{2}$ выживает так, что существует многообразие инварианта Кервера 1 в размерности 126. Сюй, Чжоули (30 мая 2024 г.). «Вычисление дифференциалов в спектральной последовательности Адамса» . . ( https://www.math.princeton.edu/events/computing- Differentials- adams-spectral-sequence-2024-05-30t170000 )

Определение

Инвариант Кервера — это инвариант Арфа определяемый квадратичной формы, оснащением на среднемерном пространстве. $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -коэффициент группы гомологии

q\colon H_{2m+1}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,

и поэтому его иногда называют инвариантом Арфа – Кервера . Квадратичная форма (собственно косо-квадратичная форма ) представляет собой квадратичное уточнение обычной ε-симметричной формы на среднемерных гомологиях (неоснащенного) четномерного многообразия; оснащение дает квадратичное уточнение.

Квадратичная форма q может быть определена алгебраической топологией с использованием функциональных квадратов Стинрода и геометрически через самопересечения погружений $S^{2m+1}$ $\to$ $M^{4m+2}$ определяется оснащением или тривиальностью/нетривиальностью нормальных расслоений вложений $S^{2m+1}$ $\to$ $M^{4m+2}$ (для $m\neq 0,1,3$ ) и мод 2- инвариант Хопфа отображений $S^{4m+2+k}\to S^{2m+1+k}$ (для $m=0,1,3$ ).

История

Инвариант Кервера является обобщением инварианта Арфа оснащенной поверхности (то есть двумерного многообразия со стабильно тривиализованным касательным расслоением), который использовался Львом Понтрягиным в 1950 году для вычисления гомотопической группы $\pi _{n+2}(S^{n})=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ карт $S^{n+2}$ $\to$ $S^{n}$ (для $n\geq 2$ ), представляющий собой группу кобордизмов поверхностей, вложенных в $S^{n+2}$ с тривиализированным нормальным расслоением.

Кервер (1960) использовал свой инвариант для n = 10, чтобы построить многообразие Кервера , 10-мерное PL-многообразие без дифференцируемой структуры , первый пример такого многообразия, показав, что его инвариант не обращается в нуль на этом PL-многообразии, но обращается в нуль на всех гладких многообразиях размерности 10.

Кервер и Милнор (1963) вычисляют группу экзотических сфер (размерностью более 4), причем один шаг вычисления зависит от инвариантной проблемы Кервера. В частности, они показывают, что множество экзотических сфер размерности n , а именно моноид гладких структур на стандартной n -сфере, изоморфно группе $\Theta _{n}$ классов h -кобордизмов ориентированных гомотопических n -сфер . Последнее они вычисляют с помощью карты

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,\,

где $bP_{n+1}$ — циклическая подгруппа n -сфер, ограничивающая параллелизуемое многообразие размерности $n+1$ , $\pi _{n}^{S}$ — n- я стабильная гомотопическая группа сфер , а J — образ J-гомоморфизма , который также является циклической группой. Группы $bP_{n+1}$ и $J$ легко понять циклические факторы, которые являются тривиальными или второго порядка, за исключением размерности $n=4k+3$ , и в этом случае они большие, а порядок соответствует числам Бернулли . Частные — это сложные части групп. Отображение между этими факторгруппами является либо изоморфизмом, либо инъективно и имеет образ индекса 2. Оно является последним тогда и только тогда, когда существует n -мерное оснащенное многообразие с ненулевым инвариантом Кервера, и, таким образом, классификация экзотических сфер зависит с точностью до 2 раз в инвариантной задаче Кервера.

Примеры

Для стандартного вложенного тора кососимметричная форма имеет вид ${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ (относительно стандартного симплектического базиса ), а косоквадратичное уточнение имеет вид $xy$ по этому основанию: $Q(1,0)=Q(0,1)=0$ : базисные кривые не самосвязываются; и $Q(1,1)=1$ : (1,1) самозацепления, как в расслоении Хопфа . Таким образом, эта форма имеет инвариант Арфа 0 (большинство ее элементов имеют норму 0; индекс изотропии 1), и, таким образом, стандартный вложенный тор имеет инвариант Кервера 0.

Инвариантная проблема Кервера

Вопрос о том, в каких размерностях n существуют n -мерные оснащенные многообразия с ненулевым инвариантом Кервера, называется инвариантной проблемой Кервера . Это возможно только в том случае, если n равно 2 по модулю 4, и действительно, необходимо, чтобы n имело форму $2^{k}-2$ (на два меньше степени двойки). Вопрос почти полностью решен: существуют многообразия с ненулевым инвариантом Кервера в размерностях 2, 6, 14, 30, 62, и нет ни одного во всех других измерениях, кроме, возможно, 126. ) объявил 30 мая 2024 года, что существует многообразие с ненулевым инвариантом Кервера в размерности 126.

Основные результаты принадлежат Уильяму Браудеру ( 1969 ), который свел проблему от дифференциальной топологии к теории стабильной гомотопии и показал, что единственно возможными размерностями являются $2^{k}-2$ и работы Майкла А. Хилла, Майкла Дж. Хопкинса и Дугласа К. Равенела ( 2016 ), которые показали, что таких многообразий не существует для $k\geq 8$ ( $n\geq 254$ ). Вместе с явными конструкциями для нижних измерений (до 62) это оставляет открытым только измерение 126.

высказал гипотезу Майкл Атья , что такое многообразие существует в размерности 126 и что многообразия более высокой размерности с ненулевым инвариантом Кервера связаны с хорошо известными экзотическими многообразиями на два измерения выше, в размерностях 16, 32, 64 и 128. а именно проективная плоскость Кэли $\mathbf {O} P^{2}$ (размерность 16, октонионная проективная плоскость) и аналогичные проективные плоскости Розенфельда (биоктонионная проективная плоскость в измерении 32, кватероктонионная проективная плоскость в измерении 64 и октооктонионная проективная плоскость в измерении 128), в частности, что существует конструкция, которая берет эти проективные плоскости и создает многообразие с ненулевым инвариантом Кервера в двух измерениях ниже. ^[1]

История

Кервер (1960) доказал, что инвариант Кервера равен нулю для многообразий размерности 10, 18.
Кервер и Милнор (1963) доказали, что инвариант Кервера может быть отличным от нуля для многообразий размерности 6, 14.
Андерсон, Браун и Петерсон (1966) доказали, что инвариант Кервера равен нулю для многообразий размерности 8 n +2 при n >1.
Маховальд и Тангора (1967) доказали, что инвариант Кервера может быть отличным от нуля для многообразий размерности 30.
Браудер (1969) доказал, что инвариант Кервера равен нулю для многообразий размерности n, а не вида 2 ^к − 2 .
Барратт, Джонс и Маховальд (1984) показали, что инвариант Кервера отличен от нуля для некоторого многообразия размерности 62. Альтернативное доказательство было дано позже Сюй (2016) .
Хилл, Хопкинс и Равенел (2016) показали, что инвариант Кервера равен нулю для n -мерных оснащенных многообразий при n = 2. ^к− 2 при k ≥ 8. Они построили теорию когомологий Ω со следующими свойствами, из которых непосредственно следует их результат:
- Группы коэффициентов Ω ^н(точка) имеет период 2 ⁸ = 256 в н
- Группы коэффициентов Ω ^н(точки) имеют «пробел»: они исчезают при n = -1, -2 и -3.
- Группы коэффициентов Ω ^н(точка) может обнаружить ненулевые инварианты Кервера: точнее, если инвариант Кервера для многообразий размерности n не равен нулю, то он имеет ненулевой образ в Ω. ^{− п}(точка)