ε -квадратичная форма

В математике , особенно в теории квадратичных форм , ε -квадратичная форма является обобщением квадратичных форм на кососимметричные настройки и *-кольца ; ε = ±1 соответственно для симметричного или кососимметричного. Их еще называют $(-)^{n}$-квадратичные формы, особенно в контексте теории хирургии .

Существует родственное понятие ε -симметричных форм , которое обобщает симметричные формы , кососимметричные формы (= симплектические формы ), эрмитовые формы и косоэрмитовые формы . Вкратце, можно относиться к квадратичным, косоквадратичным, симметричным и кососимметричным формам, где «кососимметричный» означает (-) и подразумевается * (инволюция).

Теория 2-локальна: вдали от 2 ε -квадратичные формы эквивалентны ε -симметричным формам: половина отображения симметризации (ниже) дает явный изоморфизм.

Определение

ε -симметричные формы и ε -квадратичные формы определяются следующим образом.

Для данного модуля M над *-кольцом R пусть B ( M ) — пространство билинейных форм на M , и пусть T : B ( M ) → B ( M ) — « сопряженная транспонированная » инволюция B ( u , v ) ↦ B ( v , ты )* . Поскольку умножение на −1 также является инволюцией и коммутирует с линейными отображениями, − T также является инволюцией. Таким образом, мы можем написать ε = ±1 и εT — инволюция, либо T , либо −T (ε может быть более общим, чем ±1; см. ниже). Определим ε формы как инварианты εT - симметричные , а ε -квадратичные формы — как коинварианты .

Как точная последовательность,

$0\to Q^{\varepsilon }(M)\to B(M){\stackrel {1-\varepsilon T}{\longrightarrow }}B(M)\to Q_{\varepsilon }(M)\to 0$

Как ядро ​​и коядро ,

$Q^{\varepsilon }(M):={\mbox{ker}}\,(1-\varepsilon T)$

$Q_{\varepsilon }(M):={\mbox{coker}}\,(1-\varepsilon T)$

Обозначение Q ^е ( M ), Q _ε ( M ) следует стандартным обозначениям M ^Г , MG _{, здесь} для инвариантов и коинвариантов группового действия группы порядка 2 (инволюции).

Композиция включений и фактор-отображений (но не 1 − εT ) как $Q^{\varepsilon }(M)\to B(M)\to Q_{\varepsilon }(M)$ дает карту Q ^е ( M ) → Q _ε ( M ): каждая ε -симметричная форма определяет ε -квадратическую форму.

Симметризация

Обратно, можно определить обратный гомоморфизм «1 + εT »: Q _ε ( M ) → Q ^е ( M ) , называемое отображением симметризации (поскольку оно дает симметричную форму), взяв любой подъем квадратичной формы и умножив его на 1 + εT . Это симметричная форма, поскольку (1 − εT )(1 + εT ) = 1 − T ² = 0 , так оно и есть в ядре. Точнее, $(1+\varepsilon T)B(M)<Q^{\varepsilon }(M)$. Карта четко определяется тем же уравнением: выбор другого подъема соответствует добавлению числа, кратного (1 − εT ) , но оно исчезает после умножения на 1 + εT . Таким образом, каждая ε -квадратичная форма определяет ε -симметричную форму.

Составление этих двух карт в любом случае: Q ^е ( M ) → Q _ε ( M ) → Q ^е ( M ) или Q _ε ( M ) → Q ^е ( M ) → Q _ε ( M ) дает умножение на 2, и, таким образом, эти отображения являются биективными, если 2 обратимо в R , причем обратное значение задается умножением на 1/2.

ε ε -квадратичная форма ψ ∈ Qε _если ( M ) называется невырожденной, ассоциированная с ней -симметричная форма (1 + εT )( ψ ) невырождена.

Обобщение от *

Если * тривиально, то ε = ±1 что 2 обратимо: 1/2 ∈ R. , а «вдали от 2» означает ,

можно взять В более общем смысле в качестве ε ∈ R любой элемент такой, что ε * ε = 1 . ε = ±1 всегда удовлетворяет этому требованию, как и любой элемент нормы 1, например комплексные числа единичной нормы.

Аналогично, при наличии нетривиальной * ε -симметричные формы эквивалентны ε -квадратичным формам, если существует элемент λ ∈ R такой, что λ * + λ = 1 . Если * тривиально, это эквивалентно 2 λ = 1 или λ = 1/2 , а если * нетривиально, может быть несколько возможных λ ; например, в комплексных числах любое число с вещественной частью 1/2 является таким λ .

Например, на ринге $R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]$ (целочисленная решетка для квадратичной формы 2 x ² − 2 x + 1 ), с комплексным сопряжением, $\lambda =\textstyle {\frac {1\pm i}{2}}$ таких элементов два, хотя 1/2 ∉ R .

Интуиция

В терминах матриц (мы считаем V двумерным), если * тривиально:

• матрицы ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ соответствуют билинейным формам
• подпространство симметричных матриц ${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$ соответствуют симметричным формам
• подпространство (−1)-симметричных матриц ${\begin{pmatrix}0&b\\-b&0\end{pmatrix}}$ соответствуют симплектическим формам
• билинейная форма ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ дает квадратичную форму

$ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,$,

• отображение 1 + T от квадратичных форм к симметричным формам отображает $ex^{2}+fxy+gy^{2}$

к ${\begin{pmatrix}2e&f\\f&2g\end{pmatrix}}$, например, подняв до ${\begin{pmatrix}e&f\\0&g\end{pmatrix}}$ а затем добавление для транспонирования. Обратное преобразование в квадратичные формы дает вдвое больше оригинала: $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$.

Если ${\bar {\cdot }}$ является комплексным сопряжением, то

• подпространством симметричных матриц являются эрмитовые матрицы ${\begin{pmatrix}a&z\\{\bar {z}}&c\end{pmatrix}}$
• подпространство кососимметричных матриц — это косоэрмитовые матрицы ${\begin{pmatrix}bi&z\\-{\bar {z}}&di\end{pmatrix}}$

Уточнения

Интуитивный способ понять ε -квадратическую форму — это думать о ней как о квадратичном уточнении связанной с ней ε -симметричной формы.

Например, при определении алгебры Клиффорда над общим полем или кольцом тензорную алгебру факторизуют по соотношениям, исходящим из симметричной формы и квадратичной формы: vw + wv = 2 B ( v , w ) и $v^{2}=Q(v)$. Если 2 обратимо, это второе соотношение следует из первого (поскольку квадратичная форма может быть восстановлена ​​из соответствующей билинейной формы), но при 2 необходимо это дополнительное уточнение.

Примеры

Простым примером ε -квадратичной формы является стандартная гиперболическая ε -квадратичная форма. $H_{\varepsilon }(R)\in Q_{\varepsilon }(R\oplus R^{*})$. (Здесь R * := Hom _R ( R , R ) обозначает двойственный R -модулю R .) Он задается билинейной формой $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$. Стандартная гиперболическая ε -квадратичная форма необходима для определения L -теории .

Для поля двух элементов R = F ₂ нет разницы между (+1)-квадратичными и (−1)-квадратичными формами, которые называются просто квадратичными формами . неособой Инвариант Арфа квадратичной -значным инвариантом, имеющим важные приложения как в алгебре, так и формы над F ₂ является F ₂ в топологии, и играет роль, аналогичную той, которую играет дискриминант квадратичной формы с характеристикой, не равной двум.

Коллекторы

Дополнительная информация: Продукт пересечения.

Свободная часть средней группы гомологии (с целыми коэффициентами) ориентированного четномерного многообразия имеет ε -симметричную форму, посредством двойственности Пуанкаре , форму пересечения . В случае одночетной размерности 4 k + 2 это кососимметрично, а для дважды четной размерности 4 k - симметрично. Геометрически это соответствует пересечению, когда два n /2-мерных подмногообразия в n- мерном многообразии в общем случае пересекаются в 0-мерном подмногообразии (наборе точек) путем добавления коразмерности . Для одночетной размерности порядок меняет знак, а для двучетной размерности порядок не меняет знак, отсюда и ε -симметрия. Простейшие случаи — для произведения сфер, где произведение S ^{22 тыс.} × С ^{22 тыс.} и С ^{2к 1 +} × С ^{2к 1 +} соответственно придаем симметричную форму $\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)$ и кососимметричной формы $\left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right).$ В размерности два это дает тор, а взятие связной суммы g торов дает поверхность рода g , средние гомологии которой имеют стандартную гиперболическую форму.

При наличии дополнительной структуры эту ε -симметричную форму можно уточнить до ε -квадратичной формы. Для дважды четного измерения это целое число, тогда как для одночетного измерения оно определяется только до четности и принимает значения в Z /2. Например, учитывая оснащенное многообразие , можно произвести такое уточнение. Для одночётной размерности инвариантом Арфа этой косоквадратичной формы является инвариант Кервера .

Дана ориентированная поверхность Σ, вложенная в R ³ , средняя группа гомологий H ₁ (Σ) несет не только кососимметричную форму (через пересечение), но также и косоквадратическую форму, которую можно рассматривать как квадратичное уточнение, посредством самосвязывания. Кососимметричная форма является инвариантом поверхности Σ, тогда как кососимметричная форма является инвариантом вложения Σ ⊂ R ³ для поверхности Зейферта узла , например , . Инвариант Арфа косоквадратичной формы является оснащенным инвариантом кобордизмов , порождающим первую стабильную гомотопическую группу. $\pi _{1}^{s}$.

При стандартном вложении тора кривая (1, 1) самозацепляется, таким образом, Q (1, 1) = 1 .

Для стандартного вложенного тора кососимметричная форма имеет вид $\left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right)$ (относительно стандартного симплектического базиса ), а косоквадратичное уточнение задается выражением xy по отношению к этому базису: Q (1, 0) = Q (0, 1) = 0 : базисные кривые не самосогласуются. связь; и Q (1, 1) = 1 : (1, 1) самозацепления, как в расслоении Хопфа . (Эта форма имеет инвариант Арфа 0, и, следовательно, этот вложенный тор имеет инвариант Кервера 0.)

Приложения

Ключевое приложение находится в теории алгебраической хирургии , где даже L-группы определяются как группы Витта -квадратичных форм ε , CTCWall