Скорость-химитская матрица

В линейной алгебре квадратная матрица со сложными записями, как говорят, является перекосивкой-имитианской или антихимитской, если его конъюгат транспонируется отрицательным от исходной матрицы. То есть матрица $A$ Является ли перекосит-имитиан, если он удовлетворяет отношению

$A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad A^{\mathsf {H}}=-A$

где $A^{\textsf {H}}$ обозначает сопряженное транспонирование матрицы $A$Полем В форме компонента это означает, что

$A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$

для всех индексов $i$ и $j$, где $a_{ij}$ элемент в $i$-th ряд и $j$-th Column of $A$и обшивка обозначает сложное сопряжение .

Сксуновки-химитские матрицы можно понимать как сложные версии реальных симметричных матриц или как аналог матрицы чисто воображаемых чисел. Набор всех перекоси $n\times n$ Матрицы формируют $u(n)$ Алгебра Lie , которая соответствует группе лжи U ( n ) . Эта концепция может быть обобщена, чтобы включить линейные преобразования любого сложного векторного пространства с сесквилинейной нормой .

Обратите внимание, что приспособление оператора зависит от скалярного продукта, рассматриваемого на $n$ размерный комплекс или реальное пространство $K^{n}$Полем Если $(\cdot \mid \cdot )$ обозначает скалярное продукт на $K^{n}$, затем сказать $A$ Является ли склоны к перекосу означает, что для всех $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{n}$ один есть $(A\mathbf {u} \mid \mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \mid A\mathbf {v} )$.

Воображаемые цифры можно рассматривать как агитационное склонение (так как они похожи на $1\times 1$ матрицы), тогда как реальные числа соответствуют самостоятельного следования операторам .

Пример

Например, следующая матрица перекосит-имитиан $$A={\begin{bmatrix}-i&+2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}$$ потому что $$-A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {-2+i}}\\{\overline {2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {2+i}}\\{\overline {-2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {H}}$$

Характеристики

• Собственные значения перекосинга-имитской матрицы являются чисто воображаемыми (и, возможно, нулевыми). Кроме того, агрегатные матрицы нормальны . Следовательно, они диагонализируются, и их собственные векторы для различных собственных значений должны быть ортогональными.
• Все записи на основной диагонали перекосинного матрицы должны быть чистыми воображаемыми ; т.е. на воображаемой оси (ноль числа также считается чисто воображаемым).
• Если $A$ и $B$ перекосит-вершины, тогда ⁠ $aA+bB$⁠ перекосив - это $a$ и $b$.
• $A$ Является ли перекосит-Хермитиан тогда и только тогда, когда $iA$ (или эквивалентно, $-iA$) Эрмитоан .
• $A$ Является ли перекосит-Хермитиан тогда и только тогда, когда реальная часть $\Re {(A)}$ Skew -Symmetric и воображаемая часть $\Im {(A)}$ симметричный ​ .
• Если $A$ Тогда это перекосит $A^{k}$ это эрмитоан, если $k$ это ровное целое число и перекоси $k$ это странное целое число.
• $A$ Является ли перекосит-Хермитиан тогда и только тогда, когда $\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {y} =-{\overline {\mathbf {y} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {x} }}$ для всех векторов $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$.
• Если $A$ это перекосит-вершина, затем матричная экспонента $e^{A}$ это унитарный .
• Пространство перекосинга-химитских матриц образует алгебру лей $u(n)$ лжи группы $U(n)$.

Разложение на отшельника и перекоси

• Сумма квадратной матрицы и ее сопряженного транспонирования $\left(A+A^{\mathsf {H}}\right)$ это эрмитоан.
• Разница квадратной матрицы и ее сопряженного транспонирования $\left(A-A^{\mathsf {H}}\right)$ это перекосит-Хермитиан. Это подразумевает, что коммутатор двух германианских матриц перекосит-имитиан.
• Произвольная квадратная матрица $C$ может быть написан как сумма германианской матрицы $A$ и агрегатная матрица $B$: $$C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)$$

Смотрите также

• Бивактор (комплекс)
• Гермитианская матрица
• Нормальная матрица
• Симметричная матрица
• Унитарная матрица

Ссылки

• Рог, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Анализ Матрикса , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-38632-6 .
• Мейер, Карл Д. (2000), Анализ матрицы и прикладная линейная алгебра , Siam , ISBN  978-0-89871-454-8 .