Бивектор (комплекс)

В математике бивектор — это векторная часть бикватерниона . Для бикватерниона q = w + x i + y j + z k , w называется бискаляром а x i + y j + z k является его бивекторной частью. Координаты w , x , y , z представляют собой комплексные числа с мнимой единицей h:

$x=x_{1}+\mathrm {h} x_{2},\ y=y_{1}+\mathrm {h} y_{2},\ z=z_{1}+\mathrm {h} z_{2},\quad \mathrm {h} ^{2}=-1=\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}.$

Бивектор можно записать как сумму вещественной и мнимой частей:

$(x_{1}\mathrm {i} +y_{1}\mathrm {j} +z_{1}\mathrm {k} )+\mathrm {h} (x_{2}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +z_{2}\mathrm {k} )$

где $r_{1}=x_{1}\mathrm {i} +y_{1}\mathrm {j} +z_{1}\mathrm {k}$ и $r_{2}=x_{2}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +z_{2}\mathrm {k}$ являются векторами .Таким образом, бивектор $q=x\mathrm {i} +y\mathrm {j} +z\mathrm {k} =r_{1}+\mathrm {h} r_{2}.$

Алгебра Ли группы Лоренца выражается бивекторами. В частности, если r ₁ и r ₂ — правые версоры, так что $r_{1}^{2}=-1=r_{2}^{2}$, то бикватернионная кривая {exp θr ₁ : θ ∈ R } проходит снова и снова по единичной окружности в плоскости { x + yr ₁ : x , y ∈ R }. Такой круг соответствует параметрам вращения пространства группы Лоренца.

Сейчас ( час ₂ ) ² = (−1)(−1) = +1 , а бикватернионная кривая {exp θ (h r ₂ ) : θ ∈ R } является единичной гиперболой в плоскости { x + yr ₂ : x , y ∈ R }. Преобразования пространства-времени в группе Лоренца, которые приводят к сжатиям Фитцджеральда и замедлению времени, зависят от параметра гиперболического угла . По словам Рональда Шоу, «бивекторы — это логарифмы преобразований Лоренца».

Коммутаторное на произведение этой алгебры Ли в два раза больше произведения R векторного ³ , например, [i,j] = ij − ji = 2k , что вдвое больше i × j .Как писал Шоу в 1970 году:

Теперь хорошо известно, что алгебру Ли однородной группы Лоренца можно рассматривать как алгебру Ли бивекторов при коммутации. [...] Алгебра Ли бивекторов, по сути, представляет собой алгебру комплексных 3-векторов, причем произведение Ли определяется как знакомое векторное произведение в (комплексном) 3-мерном пространстве.

Уильям Роуэн Гамильтон ввел термины «вектор» и «бивектор» . Первый термин был назван кватернионами, а второй примерно десять лет спустя, как в «Лекциях по кватернионам» (1853 г.). Этот термин использовался в популярном тексте «Векторный анализ» (1901 г.).

Учитывая бивектор r = r ₁ + h r ₂ , эллипс, для которого r ₁ и r ₂ являются парой сопряженных полудиаметров, называется эллипсом направлений бивектора r .

В стандартном линейном представлении бикватернионов как комплексных матриц размера 2 × 2, действующих на комплексной плоскости с базисом {1, h},

${\begin{pmatrix}hv&w+hx\\-w+hx&-hv\end{pmatrix}}$ представляет бивектор q знак равно v i + w j + x k .

Сопряженное транспонирование этой матрицы соответствует − q , поэтому представление бивектора q является косоэрмитовой матрицей .

Людвик Зильберштейн изучал комплексное электромагнитное поле E + h B , где есть три компонента, каждый из которых представляет собой комплексное число, известное как вектор Римана-Зильберштейна .

«Бивекторы [...] помогают описывать эллиптически поляризованные однородные и неоднородные плоские волны – один вектор для направления распространения, другой для амплитуды».

Ссылки

• Буланже, доктор философии; Хейс, Массачусетс (1993). Бивекторы и волны в механике и оптике . ЦРК Пресс. ISBN  978-0-412-46460-7 .
• Буланже, штат Пенсильвания; Хейс, М. (1991). «Бивекторы и неоднородные плоские волны в анизотропных упругих телах» . В Ву, Джулиан Дж.; Тинг, Томас Чи-цай; Барнетт, Дэвид М. (ред.). Современная теория анизотропной упругости и ее приложения . Общество промышленной и прикладной математики . п. 280 и последующие . ISBN  0-89871-289-0 .
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1853). Лекции по кватернионам . Королевская ирландская академия. Ссылка из коллекции исторической математики Корнелльского университета .
• Гамильтон, Уильям Эдвин, изд. (1866). Элементы кватернионов . Дублинский университет Press. п. 219.