Комплексификация

В математике комплексификация пространства векторного пространство $V$ над полем действительных чисел («действительное векторное пространство») дает векторное $V. С$ над комплексных чисел полем , полученным путем формального расширения масштабирования векторов действительными числами, включив в него их масштабирование («умножение») комплексными числами. Любая основа для $V$ (пространство над действительными числами) также может служить основой для $V. С$ над комплексными числами.

Формальное определение

Позволять $V$ быть реальным векторным пространством. комплексификация V $взятия$ определяется путем произведения тензорного $V$ с комплексными числами (представляемыми как двумерное векторное пространство над действительными числами):

V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.

Индекс, $\mathbb {R}$ , на тензорном произведении указывает, что тензорное произведение берется за действительные числа (поскольку $V$ является реальным векторным пространством, в любом случае это единственный разумный вариант, поэтому нижний индекс можно смело опустить). В нынешнем виде, $V^{\mathbb {C} }$ это всего лишь реальное векторное пространство. Однако мы можем сделать $V^{\mathbb {C} }$ в комплексное векторное пространство, определив комплексное умножение следующим образом:

\alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .

В более общем смысле, комплексификация является примером расширения скаляров (здесь расширение скаляров от действительных чисел до комплексных чисел), что можно сделать для любого расширения поля или даже для любого морфизма колец.

Формально комплексификация — это функтор $Vect R \to Vect C$ из категории вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств. Это сопряженный функтор , а именно левый сопряженный , к забывчивому функтору $Vect C \to Vect R,$ забывающему сложную структуру.

Это забвение сложной структуры комплексного векторного пространства $V$ называется декомплексификация (или иногда " реализация "). Декомплексификация комплексного векторного пространства $V$ с основой $e_{\mu }$ устраняет возможность комплексного умножения скаляров, что дает реальное векторное пространство $W_{\mathbb {R} }$ удвоенного размера с базисом $\{e_{\mu },ie_{\mu }\}.$ ^[1]

Основные свойства

По природе тензорного произведения каждый вектор $v$ из $V С$ можно однозначно записать в виде

v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i

где $v 1$ и $v 2$ — векторы из $V$ . Обычной практикой является удаление символа тензорного произведения и просто запись

v=v_{1}+iv_{2}.\,

Умножение на комплексное число $a + ib$ тогда производится по обычному правилу

(a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,

Тогда мы можем рассматривать $V С$ как прямая сумма двух копий $V$ :

V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV

с приведенным выше правилом умножения на комплексные числа.

Существует естественное вложение $V$ в $V. С$ данный

v\mapsto v\otimes 1.

Тогда векторное пространство $можно$ рассматривать как вещественное подпространство V $V С$ . Если $V$ имеет базис ${e i}$ (над полем $R$ ), то соответствующий базис для $V С$ задается формулой ${e i \otimes 1 }$ над полем $C$ . Комплексная размерность V $ С$ поэтому равен действительному размеру $V$ :

\dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.

В качестве альтернативы вместо использования тензорных произведений можно использовать эту прямую сумму в качестве определения комплексификации:

V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,

где $V^{\mathbb {C} }$ задается линейной комплексной структурой оператором $J,$ определяемым как $J(v,w):=(-w,v),$ где $J$ кодирует операцию «умножения на $i$ ». В матричной форме $J$ определяется как:

J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.

Это дает идентичное пространство — реальное векторное пространство с линейной комплексной структурой — это идентичные данные комплексному векторному пространству, хотя оно конструирует пространство по-разному. Соответственно, $V^{\mathbb {C} }$ можно записать как $V\oplus JV$ или $V\oplus iV,$ отождествление $V$ с первым прямым слагаемым. Этот подход более конкретен и имеет то преимущество, что позволяет избежать использования технически сложного тензорного произведения, но является специальным.

Примеры

Комплексификация реального координатного пространства $R н$ – комплексное координатное пространство $C н$ .
Аналогично, если $V$ состоит из $размера m \times n$ матриц с вещественными элементами, $V С$ будет состоять из $матриц размера m \times n$ с комплексными элементами.

Диксон удваивается

Процесс комплексификации путем перехода от $R$ к $C$ был абстрагирован математиками двадцатого века, включая Леонарда Диксона . Начинаем с использования тождественного отображения $x * = x$ как тривиальной инволюции на $R$ . Следующие две копии R используются для формирования $z = (a, b)$ с комплексным сопряжением, введенным как инволюция $z * = (a, - b)$ . Два элемента $w$ и $z$ в удвоенном наборе умножаются на

wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).

Наконец, удвоенному множеству присваивается норма $N (z) = z* z$ . Начиная с $R$ с тождественной инволюцией, удвоенное множество представляет собой $C$ с нормой $a. 2 + б 2$ .Если удваивать $C$ и использовать сопряжение ( a,b )* = ( a *, – b ), конструкция дает кватернионы . Повторное удвоение дает октонионы , также называемые числами Кэли. Именно в этот момент Диксон в 1919 году внес свой вклад в открытие алгебраической структуры.

Процесс также можно инициировать с помощью $C$ и тривиальной инволюции $z * = z$ . Произведенная норма - это просто $z 2$ , в отличие от генерации $C$ путем удвоения $R$ . Когда этот $C$ удваивается, он производит бикомплексные числа , а удвоение дает бикватернионы , а повторное удвоение приводит к биоктонионам . Когда базовая алгебра ассоциативна, алгебра, созданная с помощью этой конструкции Кэли – Диксона, называется композиционной алгеброй, поскольку можно показать, что она обладает свойством

N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.

Комплексное сопряжение

Комплексифицированное векторное пространство $V С$ имеет больше структуры, чем обычное комплексное векторное пространство. Он поставляется с канонической комплексной картой сопряжения:

\chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}

определяется

\chi (v\otimes z)=v\otimes {\bar {z}}.

Отображение $χ$ можно рассматривать как сопряженно-линейное отображение из $V С$ самому себе или как комплексный линейный изоморфизм из $V С$ к его комплексно-сопряженному ${\overline {V^{\mathbb {C} }}}$ .

И наоборот, для комплексного векторного пространства $W$ с комплексным сопряжением $оно$ χ $изоморфно$ как комплексное векторное пространство комплексификации $V С$ реального подпространства

V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.

Другими словами, все комплексные векторные пространства с комплексным сопряжением являются комплексификацией реального векторного пространства.

Например, когда $W = C н$ со стандартным комплексным сопряжением

\chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})

инвариантное подпространство $V$ — это просто вещественное подпространство $R н$ .

Линейные преобразования

Учитывая вещественное линейное преобразование $f : V \to W$ между двумя вещественными векторными пространствами, существует естественное комплексное линейное преобразование

f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }

данный

f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.

Карта $f^{\mathbb {C} }$ называется комплексификацией f . Комплексификация линейных преобразований удовлетворяет следующим свойствам

$(\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}$
$(f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }$
$(f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }$
$(af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R}$

На языке теории категорий говорят, что комплексификация определяет ( аддитивный ) функтор из категории вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств.

Карта $ф С$ коммутирует с сопряжением и таким образом отображает вещественное подпространство V ^С в вещественное подпространство $W С$ (через карту $f$ ). Более того, комплексное линейное отображение $g : V С \to Вт С$ является комплексификацией вещественного линейного отображения тогда и только тогда, когда оно коммутирует с сопряжением.

В качестве примера рассмотрим линейное преобразование из $R н$ в $Р м$ рассматривается как $размера m \times n$ матрица . Комплексификация этого преобразования представляет собой точно такую же матрицу, но теперь рассматривается как линейное отображение из $C. н$ до $С м$ .

Двойные пространства и тензорные произведения

Двойственным из вещественному векторному пространству $V$ является пространство $V *$ всех вещественных линейных отображений $V$ в $R$ . Комплексификацию $V *$ естественно можно рассматривать как пространство всех вещественных линейных отображений из $V$ в $C$ (обозначаемое $Hom R (V, C)$ ). То есть, $(V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).$

Изоморфизм задается формулой $(\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}$ где $φ 1$ и $φ 2$ — элементы $V *$ . Тогда комплексное сопряжение задается обычной операцией ${\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}.$

Учитывая действительное линейное отображение $φ : V \to C,$ мы можем расширить его по линейности , чтобы получить комплексное линейное отображение $φ : V С \to С.$ То есть, $\varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).$ Это расширение дает изоморфизм $Hom R (V, C)$ в $Hom C (V С, С)$ . Последнее представляет собой просто комплексное двойственное пространство к $V С$ , поэтому мы имеем естественный изоморфизм : $(V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.$

В более общем смысле, для данных вещественных векторных пространств $V$ и $W$ существует естественный изоморфизм. $\mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} }).$

Комплексификация также коммутирует с операциями взятия тензорных произведений , внешних степеней и симметричных степеней . Например, если $V$ и $W$ — вещественные векторные пространства, существует естественный изоморфизм $(V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,.$ Обратите внимание, что левое тензорное произведение учитывает действительные числа, а правое — комплексные. В целом та же самая закономерность. Например, у одного есть $(\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).$ Во всех случаях изоморфизмы являются «очевидными».

См. также

Ссылки

^ Кострикин Алексей Иванович; Манин Ю И. (14 июля 1989 г.). Линейная алгебра и геометрия . ЦРК Пресс. п. 75. ИСБН 978-2881246838 .

Халмош, Пол (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства . Спрингер. стр. 41 и §77 Комплексификация, стр. 150–153. ISBN 0-387-90093-4 .
Шоу, Рональд (1982). Линейная алгебра и представления групп . Том. I: Линейная алгебра и введение в представления групп. Академическая пресса. п. 196 . ISBN 0-12-639201-3 .
Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 135 (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-24766-1 .

[1] Кострикин Алексей Иванович; Манин Ю И. (14 июля 1989 г.). Линейная алгебра и геометрия . ЦРК Пресс. п. 75. ИСБН 978-2881246838 .

[1]