Линейная карта

«Линейное преобразование» перенаправляется сюда. Для дробно-линейных преобразований см. Преобразование Мёбиуса .

«Линейные операторы» перенаправляются сюда. Учебник Данфорда и Шварца см. в разделе «Линейные операторы» (книга) .

Не путать с линейной функцией .

В математике , и, более конкретно, в линейной алгебре , линейное отображение (также называемое линейным отображением , линейным преобразованием , гомоморфизмом векторного пространства или в некоторых контекстах линейной функцией ) является отображением $V\to W$ между двумя векторными пространствами , сохраняющими операции сложения векторов и скалярного умножения . Те же имена и то же определение используются и для более общего случая модулей над кольцом ; см. Гомоморфизм модулей .

Если линейное отображение является биекцией , то оно называется линейный изоморфизм . В случае, когда $V=W$линейное отображение называется линейным эндоморфизмом . Иногда этот термин линейный оператор относится к этому случаю, но термин «линейный оператор» может иметь разное значение для разных соглашений: например, его можно использовать, чтобы подчеркнуть, что $V$ и $W$ являются действительными векторными пространствами (не обязательно с $V=W$), или его можно использовать, чтобы подчеркнуть это $V$ представляет собой функциональное пространство , что является общепринятым соглашением в функциональном анализе . Иногда термин «линейная функция» имеет то же значение, что и «линейная карта» , но в анализе это не так.

Линейная карта из $V$ к $W$ всегда отображает происхождение $V$ к происхождению $W$. Более того, он отображает линейные подпространства в $V$ на линейные подпространства в $W$ (возможно, меньшего измерения ); например, он отображает плоскость через начало координат в $V$ либо к плоскости, проходящей через начало координат в $W$, линия, проходящая через начало координат в $W$или просто начало координат в $W$. Линейные карты часто могут быть представлены в виде матриц , а простые примеры включают линейные преобразования вращения и отражения .

На языке теории категорий линейные карты представляют собой морфизмы векторных пространств и образуют категорию, эквивалентную категории матриц .

Определение и первые последствия

Позволять $V$ и $W$ быть векторными пространствами над одним и тем же полем $K$. Функция $f:V\to W$ называется линейным отображением , если для любых двух векторов ${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ и любой скаляр $c\in K$ выполняются следующие два условия:

• Аддитивность /операция сложения $$f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )$$
• Однородность степени 1 / операция скалярного умножения $$f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )$$

Таким образом, линейное отображение называется сохраняющим операции . Другими словами, не имеет значения, применяется ли линейное отображение до (правые части приведенных выше примеров) или после (левые части примеров) операций сложения и скалярного умножения.

В силу ассоциативности операции сложения, обозначенной знаком +, для любых векторов ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$ и скаляры ${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,}$ имеет место следующее равенство: $$f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).$$ Таким образом, линейное отображение — это такое, которое сохраняет линейные комбинации .

Обозначая нулевые элементы векторных пространств $V$ и $W$ к ${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$ и ${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$ соответственно, отсюда следует, что ${\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}$ Позволять $c=0$ и ${\textstyle \mathbf {v} \in V}$ в уравнении однородности первой степени: $$f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.$$

Линейная карта $V\to K$ с $K$ рассматриваемое как одномерное векторное пространство над собой, называется линейным функционалом .

Эти утверждения распространяются на любой левый модуль ${\textstyle {}_{R}M}$ по кольцу $R$ без изменений и к любому правому модулю после обращения скалярного умножения.

Примеры

• Прототипическим примером, дающим имя линейным картам, является функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx$ которого , график представляет собой линию, проходящую через начало координат.
• В более общем смысле любая гомотетия ${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$ с центром в начале векторного пространства представляет собой линейное отображение (здесь c — скаляр).
• Нулевая карта ${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$ между двумя векторными пространствами (над одним и тем же полем ) является линейным.
• Тождественное отображение любого модуля представляет собой линейный оператор.
• Для действительных чисел карта ${\textstyle x\mapsto x^{2}}$ не является линейным.
• Для действительных чисел карта ${\textstyle x\mapsto x+1}$ не является линейным (но является аффинным преобразованием ).
• Если $A$ это $m\times n$ реальная матрица , тогда $A$ определяет линейную карту из $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R} ^{m}$ отправив вектор-столбец $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ вектор-столбцу $A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}$. И наоборот, любое линейное отображение между конечномерными векторными пространствами может быть представлено таким образом; см. § Матрицы ниже.
• Если ${\textstyle f:V\to W}$ является изометрией вещественных нормированных пространств такая, что ${\textstyle f(0)=0}$ затем $f$ представляет собой линейную карту. Этот результат не обязательно верен для комплексного нормированного пространства.
• Дифференцирование определяет линейное отображение пространства всех дифференцируемых функций в пространство всех функций. Он также определяет линейный оператор в пространстве всех гладких функций (линейный оператор — это линейный эндоморфизм , то есть линейное отображение с той же областью определения и кодовой областью ). Действительно, $${\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.$$
• Определенный интеграл на некотором интервале I представляет собой линейное отображение пространства всех вещественнозначных интегрируемых функций на I в $\mathbb {R}$. Действительно, $$\int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.$$
• Неопределенный интеграл (или первообразная ) с фиксированной начальной точкой интегрирования определяет линейное отображение пространства всех вещественнозначных интегрируемых функций на $\mathbb {R}$ в пространство всех действительных дифференцируемых функций на $\mathbb {R}$. Без фиксированной отправной точки первообразная отображается в фактор-пространство дифференцируемых функций с помощью линейного пространства постоянных функций.
• Если $V$ и $W$ являются конечномерными векторными пространствами над полем F соответствующих размерностей m и n , тогда функция, отображающая линейные отображения ${\textstyle f:V\to W}$ к матрицам размера n × m способом, описанным в § Матрицы (ниже), является линейным отображением и даже линейным изоморфизмом .
• Ожидаемое значение ( случайной величины которая на самом деле является функцией и, как таковая, элементом векторного пространства) линейно, как и для случайных величин. $X$ и $Y$ у нас есть $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ и $E[aX]=aE[X]$, но дисперсия случайной величины не является линейной.

• 
  Функция ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ с ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ представляет собой линейную карту. Эта функция масштабирует ${\textstyle x}$ компонент вектора на множитель ${\textstyle 2}$.
• 
  Функция ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ является аддитивным: не имеет значения, складываются ли векторы сначала, а затем отображаются или они отображаются и наконец добавляются: ${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  Функция ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ является однородным: не имеет значения, сначала масштабируется вектор, а затем отображается или сначала отображается, а затем масштабируется: ${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

Линейные расширения

Часто линейная карта создается путем определения ее на подмножестве векторного пространства, а затем распространяющийся по линейности на линейную оболочку области. Предполагать $X$ и $Y$ являются векторными пространствами и $f:S\to Y$ это функция, определенная на некотором подмножестве $S\subseteq X.$ Тогда линейное продолжение $f$ к $X,$ если оно существует, является линейным отображением $F:X\to Y$ определено на $X$ который простирается $f$ (имеется в виду, что $F(s)=f(s)$ для всех $s\in S$) и принимает его значения из кодомена $f.$ Когда подмножество $S$ является векторным подпространством $X$ тогда а ( $Y$-значное) линейное продолжение $f$ всем $X$ гарантированно существует, если (и только если) $f:S\to Y$ представляет собой линейную карту. В частности, если $f$ имеет линейное расширение до $\operatorname {span} S,$ то оно имеет линейное расширение на все $X.$

Карта $f:S\to Y$ можно расширить до линейного отображения $F:\operatorname {span} S\to Y$ тогда и только тогда, когда когда-либо $n>0$ является целым числом, $c_{1},\ldots ,c_{n}$ являются скалярами, а $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ являются векторами такими, что $0=c_{1}s_{1}+\cdots +c_{n}s_{n},$ тогда обязательно $0=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right).$ Если линейное продолжение $f:S\to Y$ существует, то линейное расширение $F:\operatorname {span} S\to Y$ является уникальным и $$F\left(c_{1}s_{1}+\cdots c_{n}s_{n}\right)=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)$$держится для всех $n,c_{1},\ldots ,c_{n},$ и $s_{1},\ldots ,s_{n}$ как указано выше. Если $S$ линейно независима, то каждая функция $f:S\to Y$ в любое векторное пространство имеет линейное расширение до (линейного) отображения $\;\operatorname {span} S\to Y$ (верно и обратное).

Например, если $X=\mathbb {R} ^{2}$ и $Y=\mathbb {R}$ тогда задание $(1,0)\to -1$ и $(0,1)\to 2$ может быть линейно продолжено из линейно независимого набора векторов $S:=\{(1,0),(0,1)\}$ к линейной карте на $\operatorname {span} \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb {R} ^{2}.$ Уникальное линейное расширение $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ это карта, которая отправляет $(x,y)=x(1,0)+y(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}$ к $$F(x,y)=x(-1)+y(2)=-x+2y.$$

Каждый (скалярный) линейный функционал $f$ определенный в векторном подпространстве вещественного или комплексного векторного пространства $X$ имеет линейное распространение на все $X.$ Действительно, теорема о доминируемом продолжении Хана–Банаха даже гарантирует, что, когда этот линейный функционал $f$ доминирует некоторая заданная полунорма $p:X\to \mathbb {R}$ (имеется в виду, что $|f(m)|\leq p(m)$ держится для всех $m$ в области $f$) то существует линейное расширение до $X$ здесь также преобладает $p.$

Матрицы

Основная статья: Матрица преобразования

Если $V$ и $W$ являются конечномерными векторными пространствами, и базис , тогда каждое линейное отображение из для каждого векторного пространства определен $V$ к $W$ может быть представлено матрицей . Это полезно, поскольку позволяет проводить конкретные расчеты. Матрицы дают примеры линейных карт: если $A$ настоящий $m\times n$ матрица, тогда $f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x}$ описывает линейную карту $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ (см. Евклидово пространство ).

Позволять $\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}$ быть основой для $V$. Тогда каждый вектор $\mathbf {v} \in V$ однозначно определяется коэффициентами $c_{1},\ldots ,c_{n}$ в поле $\mathbb {R}$: $$\mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.$$

Если ${\textstyle f:V\to W}$ представляет собой линейную карту, $$f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),$$

откуда следует, что функция f целиком определяется векторами $f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})$. Теперь позвольте $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ быть основой для $W$. Тогда мы можем представить каждый вектор $f(\mathbf {v} _{j})$ как $$f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.$$

Таким образом, функция $f$ полностью определяется ценностями $a_{ij}$. Если мы поместим эти значения в $m\times n$ матрица $M$, то мы можем удобно использовать его для вычисления векторного вывода $f$ для любого вектора в $V$. Получить $M$, каждый столбец $j$ из $M$ вектор $${\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}$$соответствующий $f(\mathbf {v} _{j})$ как определено выше. Чтобы определить это более четко, для некоторого столбца $j$ что соответствует отображению $f(\mathbf {v} _{j})$, $$\mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}$$где $M$ это матрица $f$. Другими словами, каждый столбец $j=1,\ldots ,n$ имеет соответствующий вектор $f(\mathbf {v} _{j})$ чьи координаты $a_{1j},\cdots ,a_{mj}$ являются элементами столбца $j$. Одна линейная карта может быть представлена ​​множеством матриц. Это связано с тем, что значения элементов матрицы зависят от выбранных базисов.

Матрицы линейного преобразования можно представить визуально:

1. Матрица для ${\textstyle T}$ относительно ${\textstyle B}$: ${\textstyle A}$
2. Матрица для ${\textstyle T}$ относительно ${\textstyle B'}$: ${\textstyle A'}$
3. Матрица перехода из ${\textstyle B'}$ к ${\textstyle B}$: ${\textstyle P}$
4. Матрица перехода из ${\textstyle B}$ к ${\textstyle B'}$: ${\textstyle P^{-1}}$

Связь между матрицами при линейном преобразовании

Так, что начиная с нижнего левого угла ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$ и ищем правый нижний угол ${\textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$, можно было бы умножить влево, то есть ${\textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$. Эквивалентным методом будет «более длинный» метод, идущий по часовой стрелке от той же точки, такой, что ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$ умножается слева на ${\textstyle P^{-1}AP}$, или ${\textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$.

Примеры в двух измерениях

В двумерном пространстве R ² линейные карты описываются матрицами 2×2 . Вот несколько примеров:

• вращение
  • на 90 градусов против часовой стрелки: $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$$
  • на угол θ против часовой стрелки: $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$$
• отражение
  • через ось х : $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$$
  • через ось Y : $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$$
  • через линию, составляющую угол θ с началом координат: $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}$$
• масштабирование на 2 во всех направлениях: $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I}$$
• отображение горизонтального сдвига : $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}$$
• перекос оси y на угол θ : $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&-\sin \theta \\0&\cos \theta \end{pmatrix}}$$
• сжатие картографии : $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}$$
• проекция на ось Y : $$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.$$

Если линейная карта состоит только из вращения, отражения и/или равномерного масштабирования, то линейная карта представляет собой конформное линейное преобразование .

Векторное пространство линейных карт

Композиция линейных карт линейна: если $f:V\to W$ и ${\textstyle g:W\to Z}$ линейны, то и их состав линеен ${\textstyle g\circ f:V\to Z}$. Отсюда следует, что класс всех векторных пространств над данным полем K вместе с K -линейными отображениями как морфизмами образует категорию .

Инверсия . линейной карты, если она определена, снова является линейной картой

Если ${\textstyle f_{1}:V\to W}$ и ${\textstyle f_{2}:V\to W}$ линейны, то линейна и их поточечная сумма $f_{1}+f_{2}$, который определяется $(f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )$.

Если ${\textstyle f:V\to W}$ является линейным и ${\textstyle \alpha }$ является элементом наземного поля ${\textstyle K}$, то карта ${\textstyle \alpha f}$, определяемый ${\textstyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$, также является линейным.

Таким образом, набор ${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$ линейных карт из ${\textstyle V}$ к ${\textstyle W}$ сам образует векторное пространство над ${\textstyle K}$, иногда обозначается ${\textstyle \operatorname {Hom} (V,W)}$. Кроме того, в случае, если ${\textstyle V=W}$, это векторное пространство, обозначаемое ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$, является ассоциативной алгеброй относительно композиции карт , поскольку композиция двух линейных карт снова является линейной картой, а композиция карт всегда ассоциативна. Более подробно этот случай обсуждается ниже.

Опять же, учитывая конечномерный случай, если были выбраны базисы, то композиция линейных отображений соответствует умножению матриц , сложение линейных отображений соответствует сложению матриц , а умножение линейных отображений на скаляры соответствует умножению матрицы со скалярами.

Эндоморфизмы и автоморфизмы

Основные статьи: Эндоморфизм и автоморфизм

Линейное преобразование ${\textstyle f:V\to V}$ является эндоморфизмом ​ ${\textstyle V}$; множество всех таких эндоморфизмов ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$ вместе со сложением, композицией и скалярным умножением, как определено выше, образует ассоциативную алгебру с единичным элементом над полем. ${\textstyle K}$ (и в частности кольцо ). Мультипликативным единичным элементом этой алгебры является тождественное отображение ${\textstyle \operatorname {id} :V\to V}$.

Эндоморфизм ${\textstyle V}$ который также является изоморфизмом называется автоморфизмом , ${\textstyle V}$. Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, а множество всех автоморфизмов ${\textstyle V}$ образует группу , автоморфизмов группу ${\textstyle V}$ который обозначается ${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$ или ${\textstyle \operatorname {GL} (V)}$. Поскольку автоморфизмы — это именно те эндоморфизмы , которые обладают обратными относительно композиции, ${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$ это группа юнитов в кольце ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$.

Если ${\textstyle V}$ имеет конечную размерность ${\textstyle n}$, затем ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$ изоморфна ​ ассоциативной алгебре всех ${\textstyle n\times n}$ матрицы с записями в ${\textstyle K}$. Группа автоморфизмов ${\textstyle V}$ изоморфна группе полной линейной ${\textstyle \operatorname {GL} (n,K)}$ из всех ${\textstyle n\times n}$ обратимые матрицы с элементами в ${\textstyle K}$.

Ядро, образ и теорема о ранге-нулевости

Основные статьи: Ядро (линейная алгебра) , Изображение (математика) и Ранг матрицы.

Если ${\textstyle f:V\to W}$ является линейным, мы ядро ​​и образ или диапазон определяем ${\textstyle f}$ к $${\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}$$

${\textstyle \ker(f)}$ является подпространством ​ ${\textstyle V}$ и ${\textstyle \operatorname {im} (f)}$ является подпространством ${\textstyle W}$. Следующая формула размерности известна как теорема о ранге – недействительности : $$\dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).$$

Число ${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$ называют рангом еще ${\textstyle f}$ и написано как ${\textstyle \operatorname {rank} (f)}$, или иногда, ${\textstyle \rho (f)}$; число ${\textstyle \dim(\ker(f))}$ называется ничтожностью ​ ${\textstyle f}$ и написано как ${\textstyle \operatorname {null} (f)}$ или ${\textstyle \nu (f)}$. Если ${\textstyle V}$ и ${\textstyle W}$ конечномерны, базисы выбраны и ${\textstyle f}$ представлена ​​матрицей ${\textstyle A}$, то ранг и ничтожность ${\textstyle f}$ равны рангу и нулю матрицы ${\textstyle A}$, соответственно.

Кокернел

Основная статья: Кокернел

Более тонкий инвариант линейного преобразования ${\textstyle f:V\to W}$ — это со- ядро , которое определяется как $$\operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).$$

Это двойственное понятие по отношению к ядру: точно так же, как ядро ​​является подпространством предметной области, со-ядро является фактор- пространством цели . Формально имеем точную последовательность $$0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.$$

Их можно интерпретировать следующим образом: если нужно линейное уравнение f ( v ) = w решить ,

• ядро — пространство решений однородного ( уравнения f ) = 0, а его размерность — v число степеней свободы в пространстве решений, если оно не пусто;
• коядро — это пространство ограничений , которым должны удовлетворять решения, а его размерность — максимальное количество независимых ограничений.

Размерность совместного ядра и размерность изображения (ранг) в сумме дают размерность целевого пространства. Для конечных размеров это означает, что размерность фактор-пространства W / f ( V ) равна размерности целевого пространства минус размерность изображения.

В качестве простого примера рассмотрим отображение f : R ² → Р ² , заданный выражением f ( x , y ) = (0, y ). Тогда для того, чтобы уравнение f ( x , y ) = ( a , b ) имело решение, мы должны иметь a = 0 (одно ограничение), и в этом случае пространство решения равно ( x , b ) или, что эквивалентно, ( 0, b ) + ( x , 0), (одна степень свободы). Ядро может быть выражено как подпространство ( x , 0) < V : значение x — это свобода в решении, тогда как коядро может быть выражено через отображение W → R , ${\textstyle (a,b)\mapsto (a)}$: учитывая вектор ( a , b ), значение a является препятствием для решения.

Примером, иллюстрирующим бесконечномерный случай, является отображение f : R ^∞ → Р ^∞ , ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$ с b ₁ = 0 и b _{n + 1} = a _n для n > 0. Его образ состоит из всех последовательностей с первым элементом 0, и, следовательно, его коядро состоит из классов последовательностей с идентичным первым элементом. Таким образом, хотя его ядро ​​имеет размерность 0 (оно отображает только нулевую последовательность в нулевую последовательность), его ко-ядро имеет размерность 1. Поскольку область определения и целевое пространство одинаковы, ранг и размерность ядра складываются. в ту же сумму , что и ранг и размерность коядра ( ${\textstyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$), но в бесконечномерном случае нельзя сделать вывод, что ядро ​​и коядро эндоморфизма имеют одинаковую размерность (0 ≠ 1). Обратная ситуация имеет место для отображения h : R ^∞ → Р ^∞ , ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$ с c _{n знак} равно a _{n + 1} . Его изображение — это все целевое пространство, и, следовательно, его со-ядро имеет размерность 0, но поскольку он отображает все последовательности, в которых только первый элемент ненулевой, в нулевую последовательность, его ядро ​​имеет размерность 1.

Индекс

Для линейного оператора с конечномерным ядром и ко-ядром индекс можно определить как: $$\operatorname {ind} (f):=\dim(\ker(f))-\dim(\operatorname {coker} (f)),$$а именно степени свободы минус количество ограничений.

Для преобразования между конечномерными векторными пространствами это просто разница dim( V ) − dim( W ) по рангу-нулевой. Это дает представление о том, сколько решений или сколько ограничений имеется: при отображении большего пространства в меньшее карта может быть включена и, следовательно, будет иметь степени свободы даже без ограничений. И наоборот, если отображать меньшее пространство в большее, карта не может быть включена, и, следовательно, будут иметься ограничения даже без степеней свободы.

Индекс оператора - это в точности эйлерова характеристика 2-членного комплекса 0 → V → W → 0. В теории операторов индекс операторов Фредгольма является объектом исследования, основным результатом которого является теорема об индексе Атьи – Зингера. .

Алгебраические классификации линейных преобразований

Никакая классификация линейных карт не может быть исчерпывающей. В следующем неполном списке перечислены некоторые важные классификации, которые не требуют какой-либо дополнительной структуры векторного пространства.

Пусть V и W обозначают векторные пространства над полем F и пусть T : V → W — линейное отображение.

Мономорфизм

T называется инъективным или мономорфизмом , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. T взаимно однозначно как карта множеств .
2. кер Т = {0 _В }
3. dim(ker T ) = 0
4. T является унитарным или сокращаемым слева, то есть для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : U → V и S : U → V из уравнения TR = TS следует R = S .
5. T обратимо слева , то есть существует линейное отображение S : W → V такое, что является тождественным отображением на V. ST

Эпиморфизм

T называется сюръективным или эпиморфизмом, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. T представляет собой карту множеств.
2. кокс T = {0 _Вт }
3. T эпическое W или правосократимое, то есть для любого векторного пространства и любой пары линейных отображений R : RT → U и S : W → U уравнение U = ST влечет за собой R = S .
4. T обратимо справа , то есть существует линейное отображение S : W → V такое, что — тождественное отображение на W. TS

Изоморфизм

T называется изоморфизмом, если он обратим как слева, так и справа. Это эквивалентно тому, что T является одновременно и взаимно однозначным, и на ( биекция множеств), или также тому, что T одновременно является эпическим и моническим и, таким образом, является биморфизмом .

Если T : V → V — эндоморфизм, то:

• Если для некоторого натурального числа n итерация -я T , T n ^н , тождественно нулю, то T называется нильпотентным .
• Если Т ² = T , то T называется идемпотентным
• Если T = kI , где k — некоторый скаляр, то T называется масштабирующим преобразованием или отображением скалярного умножения; см. скалярную матрицу .

Изменение базы

Основные статьи: Базис (линейная алгебра) и Изменение базиса

Учитывая линейное отображение, которое является эндоморфизмом , матрица которого равна A , в базисе B пространства оно преобразует векторные координаты [u] как [v] = A [u]. Поскольку векторы изменяются с обратным преобразованием B (координаты векторов контравариантны ), его обратное преобразование равно [v] = B [v'].

Подставив это в первое выражение $$B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]$$следовательно $$\left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].$$

Следовательно, матрица в новом базисе равна A′ = B ⁻¹ AB , будучи B матрицей данного базиса.

Поэтому линейные карты называются 1-ко-1-контравариантными объектами или тензорами типа (1, 1) .

Непрерывность

Основные статьи: Непрерывный линейный оператор и разрывное линейное отображение.

Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами , например, нормированными пространствами , может быть непрерывным . Если его область определения и область определения совпадают, то это будет непрерывный линейный оператор . Линейный оператор в нормированном линейном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен , например, когда область определения конечномерна. Бесконечномерная область может иметь разрывные линейные операторы .

Примером неограниченного, а значит, и разрывного, линейного преобразования является дифференцирование на пространстве гладких функций, снабженных супремум-нормой (функция с малыми значениями может иметь производную с большими значениями, а производная от 0 равна 0). В конкретном примере sin( nx )/ n сходится к 0, а его производная cos( nx ) — нет, поэтому дифференцирование не является непрерывным в точке 0 (и, если изменить этот аргумент, оно не является непрерывным нигде).

Приложения

Конкретным применением линейных карт являются геометрические преобразования , например, выполняемые в компьютерной графике , где перемещение, вращение и масштабирование 2D- или 3D-объектов выполняются с использованием матрицы преобразования . Линейные отображения также используются как механизм описания изменений: например, в исчислении они соответствуют производным; или в теории относительности используется как устройство для отслеживания локальных преобразований систем отсчета.

Другое применение этих преобразований — оптимизация компилятора кода с вложенными циклами и распараллеливание методов компилятора .

См. также

• Аддитивное отображение - гомоморфизм Z-модуля
• Антилинейная карта - Сопряженная однородная аддитивная карта.
• Бент-функция – специальный тип логической функции.
• Ограниченный оператор - линейное преобразование между топологическими векторными пространствами.
• Функциональное уравнение Коши – Функциональное уравнение
• Непрерывный линейный оператор
• Линейный функционал – линейная карта векторного пространства с его полем скаляров. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Линейная изометрия — математическое преобразование с сохранением расстояния. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Категория матриц
• Квазилинеаризация

Библиография

• Экслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра сделана правильно (3-е изд.). Спрингер . ISBN  978-3-319-11079-0 .
• Бронштейн И.Н.; Семендяев К.А. (2004). Справочник по математике (4-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-43491-7 .
• Халмос, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Спрингер . ISBN  0-387-90093-4 .
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (Второе изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-83940-2 .
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4419-9 .
• Кубрусли, Карлос (2001). Элементы теории операторов . Бостон: Биркхойзер. ISBN  978-1-4757-3328-0 . OCLC   754555941 .
• Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра (Третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  0-387-96412-6
• Рудин, Уолтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  9780070542259 .
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Студенческая серия Уолтера Рудина по высшей математике (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-054235-8 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Спрингер . ISBN  978-0-8218-4419-9 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .