Вращения и отражения в двух измерениях

В евклидовой геометрии двумерные вращения и отражения представляют собой два вида изометрий евклидовой плоскости , которые связаны друг с другом.

Процесс [ править ]

Вращение в плоскости можно сформировать, составив пару отражений. Сначала отразите точку $P$ на ее изображение $P'$ на другой стороне линии $L 1$ . Затем отразите $P'$ на его изображение $P''$ на другой стороне $L2 линии$ . Если линии $L 1$ и $L 2$ составляют угол $θ$ друг с другом, то точки $P$ и $P''$ образуют угол $2 θ$ вокруг точки $O$ , пересечения $L 1$ и $L 2$ . Т.е. угол $∠ POP''$ будет равен $2 θ$ .

Пара поворотов вокруг одной и той же точки $О$ будет эквивалентна другому повороту вокруг $О.$ точки С другой стороны, композиция отражения и вращения или вращения и отражения (композиция не коммутативна ) будет эквивалентна отражению.

Математическое выражение [ править ]

Вышеприведенные утверждения можно выразить более математически. Обозначим поворот вокруг начала координат $O$ на угол $θ$ как $Rot(θ)$ . Пусть отражение от линии $L$ через начало координат, которое образует угол $θ$ с $осью x$ , обозначим как $Ref(θ)$ . Пусть эти вращения и отражения действуют на все точки плоскости, и пусть эти точки представлены векторами положения . Тогда вращение можно представить в виде матрицы :

\operatorname {Rot} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},

а также для размышления,

\operatorname {Ref} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}.

С этими определениями вращения и отражения координат выполняются следующие четыре тождества :

{\begin{aligned}\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Rot} (\phi )&=\operatorname {Rot} (\theta +\phi ),\\[4pt]\operatorname {Ref} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Rot} (2\theta -2\phi ),\\[2pt]\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Ref} (\phi +{\tfrac {1}{2}}\theta ),\\[2pt]\operatorname {Ref} (\phi )\,\operatorname {Rot} (\theta )&=\operatorname {Ref} (\phi -{\tfrac {1}{2}}\theta ).\end{aligned}}

Доказательство [ править ]

Эти уравнения можно доказать путем прямого умножения матриц и применения тригонометрических тождеств , в частности тождества суммы и разности.

Совокупность всех отражений в линиях через начало координат и поворотов вокруг начала координат вместе с операцией композиции отражений и поворотов образует группу . Группа имеет идентификатор: $Rot(0)$ . Каждое вращение $Rot(φ)$ имеет обратное $Rot(- φ)$ . Каждое отражение $Ref(θ)$ является своим собственным обратным. Композиция имеет замыкание и ассоциативна, поскольку умножение матриц ассоциативно.

Обратите внимание, что и $Ref(θ)$ , и $Rot(θ)$ представлены ортогональными матрицами . Все эти матрицы имеют определитель, которого абсолютное значение равно единице. Матрицы вращения имеют определитель +1, а матрицы отражения имеют определитель -1.

Совокупность всех ортогональных двумерных матриц вместе с матричным умножением образует ортогональную группу : $O (2)$ .

В следующей таблице приведены примеры матрицы вращения и отражения:

Тип	угол я	матрица
Вращение	0°	${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Вращение	$\pm$ 45°	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\mp 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Вращение	90°	${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$
Вращение	180°	${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
Отражение	0°	${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
Отражение	45°	${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
Отражение	90°	${\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Отражение	-45°	${\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}$

Вращение осей [ править ]

В математике вращение осей в двух измерениях представляет собой отображение из xy декартовой системы координат в декартову систему координат x'y' , в которой начало координат остается фиксированным, а оси x' и y' получаются путем вращения оси x и y против часовой стрелки под углом

\theta

. Точка P имеет координаты ( x , y ) относительно исходной системы и координаты ( x' , y' ) относительно новой системы. ^[1] В новой системе координат будет казаться, что точка P повернута в противоположном направлении, то есть по часовой стрелке на угол

\theta

. Аналогично определяется вращение осей более чем в двух измерениях. ^[2]^[3] Вращение осей представляет собой линейную карту. ^[4]^[5] и жесткая трансформация .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-Х
Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас (1993), Численный анализ (5-е изд.), Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт , ISBN 0-534-93219-3
Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN 76087042

[1] Проттер и Морри (1970 , стр. 320)

[2] Антон (1987 , стр. 231)

[3] Бремя и ярмарки (1993 , стр. 532)

[4] Антон (1987 , стр. 247)

[5] Борегар и Фрели (1973 , стр. 266)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]