Категория матриц

В математике категория матриц , часто обозначаемая $\mathbf {Mat}$, — категория которой , объектами являются натуральные числа , а морфизмами — матрицы , композиция которых задается умножением матриц .

Строительство

Позволять $A$ быть $n\times m$ реальная матрица , т.е. матрица с $n$ ряды и $m$ столбцы. Учитывая $p\times q$ матрица $B$, мы можем сформировать матричное умножение $BA$ или $B\circ A$ только когда $q=n$, и в этом случае результирующая матрица имеет размерность $p\times m$.

Другими словами, мы можем только умножать матрицы $A$ и $B$ когда количество рядов $A$ соответствует количеству столбцов $B$. Этот факт можно отслеживать, объявив $n\times m$ матрица должна иметь тип $m\to n$, и аналогично $p\times q$ матрица должна иметь тип $q\to p$. Таким образом, когда $q=n$ две стрелки имеют совпадающие источник и цель, $m\to n\to p$, и, следовательно, может быть составлено в виде стрелки типа $m\to p$.

Это точно отражается математической концепцией категории , где стрелки или морфизмы являются матрицами, и они могут быть составлены только тогда, когда их область определения и кодомен совместимы (аналогично тому, что происходит с функциями ). Подробно категория $\mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }$ строится следующим образом:

• он имеет натуральные числа В качестве объектов ;

• Данные числа $m$ и $n$, морфизм $m\to n$ это $n\times m$ матрица, т.е. матрица с $n$ ряды и $m$ колонны;

• Тождественный морфизм для каждого объекта $n$ дается $n\times n$ идентификационная матрица ;

• Состав морфизмов $A:m\to n$ и $B:n\to p$ (т.е. матриц $n\times m$ и $p\times n$) определяется умножением матриц .

В более общем смысле можно определить категорию $\mathbf {Mat} _{\mathbb {F} }$ матриц над фиксированным полем $\mathbb {F}$, например, комплексных чисел .

Характеристики

• Категория матриц $\mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }$ эквивалентно и категории конечномерных вещественных векторных пространств линейных отображений . Об этом свидетельствует функтор, отображающий число $n$ в векторное пространство $\mathbb {R} ^{n}$и $n\times m$ матрица в соответствующую линейную карту $\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$. Возможная интерпретация этого факта состоит в том, что, как математические теории, абстрактные конечномерные векторные пространства и конкретные матрицы обладают одинаковой выразительной силой.

• В более общем смысле, категория матриц $\mathbf {Mat} _{\mathbb {F} }$ эквивалентна над категории конечномерных векторных пространств полем $\mathbb {F}$ и $\mathbb {F}$- линейные карты .

• Линейная операция над строкой $n\times m$ матрица $A$ можно эквивалентно получить, применив ту же операцию к $n\times n$ единичная матрица , а затем умножить полученное $n\times n$ матрица с $A$. В частности, элементарные операции над строками соответствуют элементарным матрицам . Этот факт можно рассматривать как пример леммы Йонеды для категории матриц.

• Операция транспонирования превращает категорию матриц в категорию кинжала . То же самое можно сказать и о сопряженном транспонировании в случае комплексных чисел .

Отдельные подкатегории

• Для каждого фиксированного $n$, морфизмы $n\to n$ из $\mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }$ являются $n\times n$ матриц, и образуют моноид , канонически изоморфный моноиду линейных эндоморфизмов $\mathbb {R} ^{n}$. В частности, обратимый $n\times n$ матрицы образуют группу . То же самое можно сказать и об общем поле. $\mathbb {F}$.

• Стохастическая матрица — это действительная матрица неотрицательных элементов, сумма каждого столбца которой равна единице. матрицы включают единицу и замкнуты по составу, поэтому образуют подкатегорию Стохастические $\mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }$.

Ссылки

• Риль, Эмили (2016). Теория категорий в контексте . Дувр. ISBN  9780486809038 .

• Перроне, Паоло (2024). Начало теории категорий . Всемирная научная. дои : 10.1142/9789811286018_0005 . ISBN  978-981-12-8600-1 .

Внешние ссылки

• Лемма Йонеды в разряде матриц , обучающее видео.