Квазилинеаризация

Две кривые на графике с сеткой, каждая из которых отмечена крестиками в узлах интерполяции. Верхняя неглубокая кривая u_1 имеет минимум около 0,71, а нижняя, более глубокая кривая u_2 имеет минимум около -4. Обе кривые касаются y=1 в точках x=1 и x=-1. — Два численных решения нелинейной краевой задачи примера $y''=y^{2}$ , $y(-1)=y(1)=1$ . Решено спектральным методом Чебышева и квазилинеаризацией. Верхняя кривая $u_{1}$ использовал 21 узел интерполяции и нижнюю кривую $u_{2}$ использовал 34. Оба использовали 3 итерации.

В математике квазилинеаризация — это метод, который заменяет нелинейное дифференциальное уравнение или операторное уравнение (или систему таких уравнений) последовательностью линейных задач, которые считаются более простыми и решения которых аппроксимируют решение исходной нелинейной задачи с увеличением точность. Это обобщение метода Ньютона ; Слово «квазилинеаризация» обычно используется, когда дифференциальное уравнение представляет собой краевую задачу . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Абстрактная формулировка

Квазилинеаризация заменяет заданный нелинейный оператор $N$ определенным линейным оператором , который, будучи более простым, может использоваться итерационным образом для приближенного решения уравнений, содержащих исходный нелинейный оператор. Обычно это выполняется при попытке решить такое уравнение, как $N(y) = 0,$ вместе с определенными граничными условиями $B$ , для которых уравнение имеет решение $y$ . Это решение иногда называют «эталонным раствором». Чтобы квазилинеаризация работала, эталонное решение должно существовать однозначно (по крайней мере, локально). Процесс начинается с начального приближения $y0,$ которое удовлетворяет граничным условиям и «достаточно близко» к эталонному решению $y$ в смысле, который будет определен более точно позже. Первый шаг — взять производную Фреше нелинейного оператора $N$ в этом начальном приближении, чтобы найти линейный оператор $L(y0),$ который лучше всего приближает $N(y)-N(y0) локально$ . Тогда нелинейное уравнение можно аппроксимировать как $N (y) = N(y k) + L(y k)( y - y k) + O ( yy k) 2$ , принимая $k=0$ . Приравнивая это уравнение к нулю, налагая нулевые граничные условия и игнорируя члены более высокого порядка, получаем линейное уравнение $L(y k)( y - y k) = - N(y k)$ . Решение этого линейного уравнения (с нулевыми граничными условиями) можно назвать $y k+1$ . Вычисление $y k$ для $k = 1, 2, 3,$ ... путем последовательного решения этих линейных уравнений аналогично итерации Ньютона для одного уравнения и требует повторного расчета производной Фреше для каждого $y k$ . При правильных условиях процесс может сходиться квадратично к эталонному решению. Однако, как и в случае с методом Ньютона для нелинейных алгебраических уравнений, могут возникнуть трудности: например, исходное нелинейное уравнение может не иметь решения, или иметь более одного решения, или множественное решение, и в этих случаях итерация может сходиться очень медленно. может вообще не сходиться или вместо этого сходиться к неправильному решению.

Практическая проверка значения фразы «достаточно близко» выше заключается именно в том, что итерация сходится к правильному решению. Как и в случае с итерацией Ньютона, существуют теоремы, устанавливающие условия, при которых можно заранее узнать, когда начальное приближение будет «достаточно близким».

В отличие от первой дискретизации

Вместо этого можно было бы дискретизировать исходный нелинейный оператор и сгенерировать (обычно большой) набор нелинейных алгебраических уравнений для неизвестных, а затем использовать собственно метод Ньютона для этой системы уравнений. Вообще говоря, поведение сходимости аналогично: одинаково хорошее начальное приближение приведет к одинаково хорошим приближенным дискретным решениям. Однако подход квазилинеаризации (линеаризация операторного уравнения вместо дискретизированных уравнений) кажется более простым для рассмотрения и позволяет использовать такие методы, как адаптивные пространственные сетки, в ходе итерации. ^{[ 3 ]}

Пример

В качестве примера, иллюстрирующего процесс квазилинеаризации, можно приближенно решить двухточечную краевую задачу для нелинейного узла ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y(x)=y^{2}(x),$ где граничные условия $y(-1)=1$ и $y(1)=1$ . Точное решение дифференциального уравнения можно выразить с помощью эллиптической функции Вейерштрасса ℘, например: $y(x)=6\wp (x-\alpha |0,\beta )$ где обозначение вертикальной черточки означает, инварианты что $g_{2}=0$ и $g_{3}=\beta$ . Нахождение значений $\alpha$ и $\beta$ чтобы граничные условия были удовлетворены, необходимо решить одновременно два нелинейных уравнения с двумя неизвестными $\alpha$ и $\beta$ , а именно $6\wp (-1-\alpha |0,\beta )=1$ и $6\wp (1-\alpha |0,\beta )=1$ . Это можно сделать в среде, где доступны ℘ и его производные, например, методом Ньютона. ^{[ а ]}

Применяя вместо этого технику квазилинеаризации, можно найти, взяв производную Фреше в неизвестном приближении $y_{k}(x)$ что линейный оператор $L(\varepsilon )={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\varepsilon (x)-2y_{k}(x)\varepsilon (x).$ Если начальное приближение $y_{0}(x)=1$ тождественно на интервале $-1\leq x\leq 1$ , то первую итерацию (по крайней мере) можно решить точно, но это уже несколько сложно. Вместо этого можно использовать численное решение, например, с помощью спектрального метода Чебышева с использованием $n=21$ Чебышев — Очки Лобатто $x_{k}=\cos(\pi (n-1-k)/(n-1))$ для $k=0,1,\cdots ,n-1$ дает решение с остатком менее $5\cdot 10^{-9}$ после трех итераций; то есть, $y_{3}(x)$ это точное решение ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y(x)-y^{2}(x)=5\cdot 10^{-9}v(x)}$ , где максимальное значение $|v(x)|$ меньше 1 на интервале $-1\leq x\leq 1$ . Это приближенное решение (назовем его $u_{1}$ ) согласуется с точным решением $6\cdot \wp (x-\alpha |0,\beta )$ с $\{\alpha \approx 3.524459420,\beta \approx 0.006691372637\}.$

Другие значения $\alpha$ и $\beta$ дать другие непрерывные решения этой нелинейной двухточечной краевой задачи для ОДУ, такие как $\{\alpha \approx 2.55347391110,\beta \approx -1.24923895273\}.$ Решение, соответствующее этим значениям, изображенным на рисунке, называется $u_{2}$ . Однако другие значения параметров могут давать разрывные решения, поскольку ℘ имеет двойной полюс в нуле и поэтому $y(x)$ имеет двойной полюс на $x=\alpha$ . Нахождение других непрерывных решений путем квазилинеаризации требует иных начальных приближений, чем те, которые используются здесь. Начальное приближение $y_{0}=5x^{2}-4$ приближает точное решение $u_{2}$ и может использоваться для генерации последовательности аппроксимаций, сходящейся к $u_{2}$ . Оба приближения показаны на прилагаемом рисунке.

Примечания

^ Для получения дополнительной информации об эллиптических функциях см. Lawden (1989) . ^{[ 4 ]}

См. также

Описание функции

Ссылки

^ Ашер, Ури М.; Маттей, Роберт М.; Рассел, Роберт Д. (1995). Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений . СИАМ.
^ Сильвестр, Р.Дж.; Мейер, Ф. (июнь 1965 г.). «Двухточечные краевые задачи методом квазилинеаризации» . Журнал Общества промышленной и прикладной математики . 13 (2): 586–602. дои : 10.1137/0113038 . JSTOR 2946451 . Проверено 31 марта 2022 г.
^ Борнеманн, Фолькмар (1991). Адаптивный многоуровневый подход к параболическим уравнениям в двух измерениях пространства . ЗИБ . Проверено 6 марта 2022 г.
^ Лоуден, Дерек Ф. (1989). Эллиптические функции и приложения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96965-9 .

Дальнейшее чтение

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Quasi-linearization

[5] Для получения дополнительной информации об эллиптических функциях см. Lawden (1989) . ^{[ 4 ]}

[1] Ашер, Ури М.; Маттей, Роберт М.; Рассел, Роберт Д. (1995). Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений . СИАМ.

[2] Сильвестр, Р.Дж.; Мейер, Ф. (июнь 1965 г.). «Двухточечные краевые задачи методом квазилинеаризации» . Журнал Общества промышленной и прикладной математики . 13 (2): 586–602. дои : 10.1137/0113038 . JSTOR 2946451 . Проверено 31 марта 2022 г.

[3] Борнеманн, Фолькмар (1991). Адаптивный многоуровневый подход к параболическим уравнениям в двух измерениях пространства . ЗИБ . Проверено 6 марта 2022 г.

[4] Лоуден, Дерек Ф. (1989). Эллиптические функции и приложения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96965-9 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ а ]

[ 4 ]