Список теорий когомологии

Это список некоторых обычных и обобщенных (или необычных) теорий гомологий и когомологий в алгебраической топологии , которые определены в категориях CW комплексов или спектров . Другие виды теорий гомологии см. по ссылкам в конце этой статьи.

Обозначения

S = π = S ⁰ – спектр сферы.
С ^н – спектр n -мерной сферы
С ^нY = С ^н∧ Y — n -я надстройка спектра Y .
[ X , Y ] — абелева группа морфизмов из спектра X в спектр Y , заданная (грубо) как гомотопические классы отображений.
[ Икс , Y ] _{п знак} равно [ S ^нХ , Y ]
[ X , Y ] _* — градуированная абелева группа, заданная как сумма групп [ X , Y ] _n .
π _п ( Икс ) знак равно [ S ^н, X ] = [ S , X ] _n гомотопическая — n-я группа X. стабильная
π _* ( X ) представляет собой сумму групп π _n ( X ) и называется кольцом коэффициентов X , когда X является кольцевым спектром.
X ∧ Y — произведение двух спектров.

Если X — спектр, то он определяет обобщенные теории гомологий и когомологий в категории спектров следующим образом.

Икс _п ( Y ) знак равно [ S , Икс ∧ Y ] _{п знак} равно [ S ^н, X ∧ Y ] — обобщенные гомологии Y ,
Х ^н( Y ) знак равно [ Y , Икс ] _{- п} знак равно [ S ^{− п}Y , X ] — обобщенные когомологии Y

Обычные теории гомологии

Это теории, удовлетворяющие «аксиоме размерности» аксиом Эйленберга – Стинрода о том, что гомологии точки обращаются в нуль в размерности, отличной от 0. Они определяются абелевой группой коэффициентов G и обозначаются H ( X , G ) (где G иногда опускается, особенно если это Z ). Обычно G — это целые числа, рациональные числа, действительные числа, комплексные числа или целые числа по модулю простого числа p .

Функторы когомологий обычных теорий когомологий представлены пространствами Эйленберга – Маклейна .

На симплициальных комплексах эти теории совпадают с сингулярными гомологиями и когомологиями.

Гомологии и когомологии с целыми коэффициентами.

Спектр: H ( Эйленберга – Маклейна спектр целых чисел .)

Кольцо коэффициентов: π _n (H) = Z, если n = 0, 0 в противном случае.

Оригинальная теория гомологии.

Гомологии и когомологии с рациональными (действительными или комплексными) коэффициентами.

Спектр: HQ (спектр рациональных чисел Эйленберга – Мак Лейна).

Кольцо коэффициентов: π _n (HQ) = Q , если n = 0, 0 в противном случае.

Это самая простая из всех теорий гомологии.Группы гомологий HQ _n ( X ) часто обозначаются H _n ( X , Q ).Группы гомологии H( X , Q ), H( X , R ), H( X , C ) с рациональными , вещественными и комплексными коэффициентами похожи и используются в основном, когда кручение не представляет интереса (или слишком сложно для понимания). тренировка). Разложение Ходжа записывает комплексные когомологии комплексного проективного многообразия как сумму пучков групп когомологий .

Гомологии и когомологии с коэффициентами mod p .

Спектр: HZ _p (спектр Эйленберга – Маклейна целых чисел mod p .)

Кольцо коэффициентов: π _n (HZ _p ) = Z _p (целые числа по модулю p ), если n = 0, 0 в противном случае.

К-теории

Более простые K-теории пространства часто связаны с векторными расслоениями над пространством, а различные виды K-теорий соответствуют различным структурам, которые можно поместить в векторное расслоение.

Настоящая К-теория

Спектр: Я

Кольцо коэффициентов: Группы коэффициентов π _i (KO) имеют период 8 в i , заданный последовательностью Z , Z ₂ , Z _2,0 , Z , 0, 0, 0, повторяющейся. Как кольцо оно порождается классом η степени 1, классом x ₄ степени 4 и обратимым классом v ₁⁴ в степени 8 при условии, что 2 η = η ³ = ηx ₄ = 0 и x ₄² = 4 в ₁⁴.

ЯВЛЯЕТСЯ ⁰( X кольцо стабильных классов эквивалентности вещественных векторных расслоений над X. ) — Периодичность Ботта означает, что K-группы имеют период 8.

Комплексная К-теория

Спектр: KU (четные члены BU или Z × BU, нечетные члены U ).

Кольцо коэффициентов: Кольцо коэффициентов K ^*(точка) — кольцо полиномов Лорана от генератора степени 2.

К ⁰( X кольцо стабильных классов эквивалентности комплексных векторных расслоений над X. ) — Периодичность Ботта означает, что K-группы имеют период 2.

Кватернионная К-теория

Спектр: КСп

Кольцо коэффициентов: Группы коэффициентов π _i (KSp) имеют период 8 в i , заданный последовательностью Z , 0, 0, 0, Z , Z ₂ , Z _2,0 , повторяющейся.

КСп ⁰( X ) — кольцо стабильных классов эквивалентности кватернионных векторных расслоений над X . Периодичность Ботта означает, что K-группы имеют период 8.

К-теория с коэффициентами

Спектр: КГ

G — некоторая абелева группа; например, локализация Z _{( p )} в простом числе p . Другие K-теории также могут иметь коэффициенты.

Самосопряженная K-теория

Спектр: КСК

Коэффициентное кольцо: записать...

Группы коэффициентов $\pi _{i}$ (KSC) имеют период 4 в i заданный последовательностью Z , Z2 _, , 0, Z , повторяющейся. Представлен Дональдом В. Андерсоном в его неопубликованной книге 1964 года Калифорнийского университета в Беркли. , доктор философии диссертация «Новая теория когомологий».

Связующие К-теории

Спектр: ку для связной К-теории, ко для связной реальной К-теории.

Кольцо коэффициентов: Для ku кольцо коэффициентов — это кольцо многочленов над Z от одного класса v ₁ в размерности 2. Для ko кольцо коэффициентов — это фактор кольца полиномов от трех образующих, η в размерности 1, x _4. в размерности 4 и v ₁⁴ в размерности 8 — генератор периодичности по модулю соотношений 2 η = 0, x ₄² = 4 в ₁⁴, ч ³ = 0 и ηx = 0.

Грубо говоря, это К-теория с уничтоженными отрицательными размерными частями.

КР-теория

Это теория когомологий, определенная для пространств с инволюцией, из которой могут быть выведены многие другие K-теории.

Теории бордизма и кобордизма

Кобордизм изучает многообразия , где многообразие считается «тривиальным», если оно является границей другого компактного многообразия. Классы кобордизмов многообразий образуют кольцо, которое обычно является кольцом коэффициентов некоторой обобщенной теории когомологий. Существует множество таких теорий, примерно соответствующих различным структурам, которые можно разместить на многообразии.

Функторы теорий кобордизмов часто представляются пространствами Тома определенных групп.

Стабильная гомотопия и когомотопия

Спектр: S ( сферический спектр ).

Кольцо коэффициентов: группы коэффициентов π _n ( S ) являются стабильными гомотопическими группами сфер , которые, как известно, трудно вычислить или понять при n > 0. (Для n < 0 они исчезают, а для n = 0 группа равна Z . )

Стабильная гомотопия тесно связана с кобордизмом оснащенных многообразий (многообразий с тривиализацией нормального расслоения).

Неориентированный кобордизм

Спектр: МО ( спектр Тома ортогональной группы )

Кольцо коэффициентов: π _* (MO) — это кольцо классов кобордизмов неориентированных многообразий и кольцо многочленов над полем с двумя элементами на образующих степени i для каждого i, отличного от формы 2. ^н−1. То есть: $\mathbb {Z} _{2}[x_{2},x_{4},x_{5},x_{6},x_{8}\cdots ]$ где $x_{2n}$ могут быть представлены классами $\mathbb {RP} ^{2n}$ а для нечетных индексов можно использовать соответствующие многообразия Долда .

Неориентированный бордизм является 2-кручением, так как 2M — граница $M\times I$ .

МО — довольно слабая теория кобордизмов, так как спектр МО изоморфенH(π _* (MO)) («гомологии с коэффициентами в π _* (MO)») — МО является произведением спектров Эйленберга – Маклейна . Другими словами, соответствующие теории гомологии и когомологии не более мощны, чем теории гомологии и когомологии с коэффициентами из / 2 Z. Z Это была первая теория кобордизма, описанная полностью.

Комплексный кобордизм

Спектр: MU (спектр Тома унитарной группы )

Кольцо коэффициентов: π _* ( MU ) — кольцо полиномов от образующих степени 2, 4, 6, 8,...естественно изоморфно универсальному кольцу Лазара и является кольцом кобордизмов стабильно почти комплексных многообразий .

Ориентированный кобордизм

Спектр: MSO (спектр Тома специальной ортогональной группы )

Кольцо коэффициентов: класс ориентированных кобордизмов многообразия полностью определяется его характеристическими числами: числами Стифеля-Уитни и числами Понтрягина , но общим кольцом коэффициентов, обозначаемым $\Omega _{*}=\Omega (*)=MSO(*)$ довольно сложно.Рационально, и при значении 2 (что соответствует классам Понтрягина и Стифеля-Уитни соответственно) MSO является продуктом спектров Эйленберга-Маклейна - $MSO_{\mathbf {Q} }=H(\pi _{*}(MSO_{\mathbf {Q} }))$ и $MSO[2]=H(\pi _{*}(MSO[2]))$ – но для нечетных простых чисел это не так, и структуру сложно описать. Кольцо было полностью описано целиком благодаря работам Джона Милнора , Бориса Авербуха, Владимира Рохлина и CTC Wall .

Специальный унитарный кобордизм

Спектр: МГУ (Спектр Тома специальной унитарной группы )

Коэффициент кольца:

Спиновый кобордизм (и варианты)

Спектр: MSpin (спектр Тома спиновой группы )

Кольцо коэффициентов: см. (Д. У. Андерсон, Э. Х. Браун и Ф. П. Петерсон, 1967 ).

Симплектический кобордизм

Спектр: MSp (спектр Тома симплектической группы )

Коэффициент кольца:

Кобордизм алгебры Клиффорда

PL-кобордизм и топологический кобордизм

Спектр: MPL, MSPL, MTop, MSTop

Коэффициент кольца:

Определение похоже на кобордизм, за исключением того, что используются кусочно-линейные вместо гладких многообразий , ориентированных или неориентированных, или топологические.Кольца коэффициентов сложны.

Когомологии Брауна – Петерсона

Спектр: БП

Кольцо коэффициентов: π _* (BP) — алгебра полиномов над ( _{p ) от} образующих vn _Z размерности 2( p ^н − 1) для n ≥ 1.

Когомологии Брауна–Петерсона BP являются слагаемым MU _p , который представляет собой комплексный кобордизм MU, локализованный в простом числе p . Фактически MU _{( p )} представляет собой сумму подвесок БП.

Морава К-теория

Спектр: K( n ) (Они также зависят от простого числа p .)

Кольцо коэффициентов: F _p [ v _n , v _n⁻¹], где v _n имеет степень 2( p ^н -1).

Эти теории имеют период 2( p ^н − 1). Они названы в честь Джека Моравы .

Теория Джонсона – Вильсона

Спектр E ( n )

Кольцо коэффициентов Z ₂₎ [ v ₁ , ..., v _n , 1/ v _n ] где vi ₍ имеет степень 2(2 ^я−1)

Струнный кобордизм

Спектр:

Коэффициент кольца:

Теории, связанные с эллиптическими кривыми

Эллиптические когомологии

Спектр: Элл

Топологические модульные формы

Спектры: tmf, TMF (ранее называвшийся eo ₂ .)

Кольцо коэффициентов π _* (tmf) называется кольцом топологических модулярных форм . TMF представляет собой tmf в 24-й степени перевернутой модульной формы Δ и имеет период 24. ²=576. В простом числе p = 2 пополнение tmf представляет собой спектр eo ₂ , а K(2)-локализация tmf представляет собой спектр EO ₂ высшей вещественной K-теории Хопкинса-Миллера .

См. также

Ссылки

Стабильная гомотопия и обобщенная гомология (Чикагские лекции по математике), Дж. Фрэнк Адамс , University of Chicago Press ; Переиздание (27 февраля 1995 г.) ISBN 0-226-00524-0
Андерсон, Дональд В.; Браун, Эдгар Х. младший ; Петерсон, Франклин П. (1967), «Структура кольца спиновых кобордизмов», Annals of Mathematics , вторая серия, 86 (2): 271–298, doi : 10.2307/1970690 , JSTOR 1970690
Заметки по теории кобордизмов Роберта Э. Стонга , Princeton University Press (1968) ASIN B0006C2BN6
Эллиптические когомологии (Университетская серия по математике) Чарльза Б. Томаса, Springer; 1 издание (октябрь 1999 г.) ISBN 0-306-46097-1