Когомотопический набор

В математике , особенно в алгебраической топологии , когомотопические множества представляют собой особые контравариантные функторы из категории точечных топологических пространств отображений , сохраняющих базовую точку, и непрерывных в категорию множеств и функций . Они двойственны гомотопическим группам , но менее изучены.

Обзор

p -е когомотопическое множество точечного топологического пространства X определяется формулой

$\pi ^{p}(X)=[X,S^{p}]$

множество точечных гомотопических классов непрерывных отображений из $X$ в p - сферу $S^{p}$.

При p = 1 это множество имеет абелеву групповую структуру и называется группой Брушлинского . Предоставил $X$ является CW-комплексом , он изоморфен первой когомологий группе $H^{1}(X)$, поскольку круг $S^{1}$ является пространством Эйленберга–Маклейна типа $K(\mathbb {Z} ,1)$.

Теорема Хайнца Хопфа гласит, что если $X$ является CW-комплексом размерности не выше p , то $[X,S^{p}]$ находится в биекции с p -й группой когомологий $H^{p}(X)$.

Набор $[X,S^{p}]$ также имеет естественную групповую структуру, если $X$ это подвеска $\Sigma Y$, например сфера $S^{q}$ для $q\geq 1$.

Если X не гомотопически эквивалентен CW-комплексу, то $H^{1}(X)$ может быть не изоморфен $[X,S^{1}]$. Контрпример даёт варшавский круг , первая группа когомологий которого исчезает, но допускает отображение в $S^{1}$ которое не гомотопно постоянному отображению.

Характеристики

Некоторые основные факты о когомотопических множествах, некоторые из которых более очевидны, чем другие:

• $\pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})$ для всех p и q .
• Для $q=p+1$ и $p>2$, группа $\pi ^{p}(S^{q})$ равно $\mathbb {Z} _{2}$. (Для доказательства этого результата Лев Понтрягин разработал концепцию оснащенного кобордизма .)
• Если $f,g\colon X\to S^{p}$ имеет $\|f(x)-g(x)\|<2$ для всех x , тогда $[f]=[g]$, и гомотопия гладкая, если f и g гладкие.
• Для $X$ компактное , гладкое многообразие $\pi ^{p}(X)$ изоморфно множеству гомотопических классов гладких отображений $X\to S^{p}$; в этом случае любое непрерывное отображение можно равномерно аппроксимировать гладким, и любые гомотопические гладкие отображения будут гладко гомотопными.
• Если $X$ это $m$- многообразие , тогда $\pi ^{p}(X)=0$ для $p>m$.
• Если $X$ это $m$- многообразие с краем , множество $\pi ^{p}(X,\partial X)$ находится канонически в биекции с множеством классов кобордизмов коразмерности - p оснащенных подмногообразий внутреннего пространства $X\setminus \partial X$.
• Стабильная когомотопическая группа $X$ это копредел

$\pi _{s}^{p}(X)=\varinjlim _{k}{[\Sigma ^{k}X,S^{p+k}]}$

которая является абелевой группой.

История

Когомотопические множества были введены Каролем Борсуком в 1936 году. Систематическое исследование было проведено Эдвином Спэньером в 1949 году. Стабильные группы когомотопий были определены Франклином П. Петерсоном в 1956 году.