Каменное пространство

В топологии и смежных областях математики существует пространство Стоуна , также известное как бесконечное пространство. ^[1] или проконечное множество , представляет собой компактное вполне несвязное хаусдорфово пространство . ^[2] Пространства Стоуна названы в честь Маршалла Харви Стоуна, который ввел и изучил их в 1930-х годах в ходе своего исследования булевых алгебр , кульминацией которого стала его теорема о представлении для булевых алгебр .

Эквивалентные условия

Следующие условия на топологическое пространство $X$ эквивалентны: ^[2]^[1]

$X$ — пространство Камня;
$X$ гомеоморфен проективному пределу ; в категории топологических пространств ) обратной системы конечных дискретных пространств (
$X$ компактен и полностью разделен ;
$X$ компактен T ₀ и нульмерен (в смысле малой индуктивной размерности );
$X$ является когерентным и хаусдорфовым.

Примеры

Важные примеры пространств Стоуна включают конечные дискретные пространства , множество Кантора и пространство $\mathbb {Z} _{p}$ из $p$ -адические целые числа , где $p$ это любое простое число . Обобщая эти примеры, любой продукт произвольного числа конечных дискретных пространств является пространством Стоуна, а топологическое пространство, лежащее в основе любой проконечной группы, является пространством Стоуна. Компактификация Стоуна -Чеха натуральных чисел с дискретной топологией, как и любого дискретного пространства, является пространством Стоуна.

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр

Каждой булевой алгебре $B$ мы можем связать пространство Stone $S(B)$ следующим образом: элементы $S(B)$ ультрафильтры на $B,$ и топология на $S(B),$ называется топология Стоуна порождается множествами вида $\{F\in S(B):b\in F\},$ где $b\in B.$

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна булевой алгебре открыто- замкнутых множеств пространства Стоуна. $S(B)$ ; и более того, каждое пространство Камня $X$ гомеоморфно пространству Стоуна, принадлежащему булевой алгебре открыто-замкнутых множеств $X.$ Эти назначения являются функториальными , и мы получаем теоретико-категорную двойственность между категорией булевых алгебр (с гомоморфизмами в качестве морфизмов) и категорией пространств Стоуна (с непрерывными отображениями в качестве морфизмов).

Теорема Стоуна породила ряд подобных дуальностей, теперь известных под общим названием дуальности Стоуна .

Сжатая математика

Категория пространств Стоуна с непрерывными отображениями эквивалентна прокатегории категории , конечных множеств что объясняет термин «проконечные множества». Проконечные множества лежат в основе проекта сжатой математики , целью которого является замена топологических пространств «конденсированными множествами», где топологическое пространство X заменяется функтором , который переводит проконечное множество S в множество непрерывных отображений из S. до Х. ^[3]

См. также

Компактификация Стоуна-Чеха#Конструкция с использованием ультрафильтров - универсальное отображение топологического пространства X в компактное хаусдорфово пространство βX, такое, что любое отображение из X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX однозначно; если X — Тихонов, то X — плотное подпространство
Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
Тип (теория моделей) - Понятие в теории моделей.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Каменное пространство в n Lab
^ Jump up to: ^а ^б «Каменное пространство» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ Шольце, Питер (05 декабря 2020 г.). «Жидкий тензорный эксперимент» . Зена .

Дальнейшее чтение

Джонстон, Питер (1982). Каменные просторы . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 3. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-33779-8 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Каменное пространство в n Lab

[:1-2] Jump up to: ^а ^б «Каменное пространство» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[3] Шольце, Питер (05 декабря 2020 г.). «Жидкий тензорный эксперимент» . Зена .

[1]

[2]

[3]