Индуктивный размер

В математической области топологии индуктивная размерность топологического пространства X имеет одно из двух значений: малую индуктивную размерность ind( X ) или большую индуктивную размерность Ind( X ). Они основаны на наблюдении, что в n -мерном евклидовом пространстве R ^н , ( n − 1)-мерные сферы (т. е. n границы -мерных шаров) имеют размерность n − 1. Поэтому должна быть возможность определить размерность пространства индуктивно через размерности границ подходящих открытые наборы .

Малая и большая индуктивные размерности — это два из трёх наиболее распространенных способов уловить понятие «размерности» топологического пространства, причем таким способом, который зависит только от топологии (а не, скажем, от свойств метрического пространства ). . Другая — размерность накрытия Лебега . Под термином «топологическое измерение» обычно понимают накрывающую размерность Лебега. Для «достаточно хороших» пространств три меры измерения равны.

Формальное определение

Мы хотим, чтобы размерность точки была равна 0 и точка имела пустую границу, поэтому начнем с

$\operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1$

Тогда по индуктивности ind( X ) — это наименьшее n такое, что для любого $x\in X$ и для каждого открытого множества U , содержащего x , существует открытое множество V , содержащее x , такое, что замыкание V U является подмножеством Если , а граница V имеет небольшую индуктивную размерность, меньшую или равную n − 1. ( X является евклидовым n -мерным пространством, V можно выбрать в качестве n -мерного шара с центром в точке x .)

ограничиваем выбор V При больших индуктивных размерах мы еще больше ; Ind( X ) — наименьшее n такое, что для каждого замкнутого подмножества F каждого открытого подмножества U в X существует открытое V между ними (то есть F — подмножество V , а замыкание V — подмножество U ), такая, что граница V имеет большую индуктивную размерность, меньшую или равную n - 1.

Связь между измерениями

Позволять $\dim$ — размерность накрытия Лебега. Для любого топологического пространства X имеем

$\dim X=0$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Ind} X=0.$

Теорема Урысона утверждает, что когда X — нормальное пространство со счетной базой , то

$\dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.$

Такими пространствами являются в точности сепарабельное и метризуемое X (см. теорему Урысона о метризации ).

Теорема Нёбелинга-Понтрягина тогда утверждает, что такие пространства с конечной размерностью характеризуются с точностью до гомеоморфизма как подпространства евклидовых пространств с их обычной топологией. Теорема Менгера -Нёбелинга (1932 г.) утверждает, что если $X$ является компактной метрической сепарабельной единицей размерности $n$, то оно вкладывается как подпространство евклидова пространства размерности $2n+1$. ( Георг Нёбелинг был учеником Карла Менгера . Он ввёл пространство Нёбелинга , подпространство $\mathbf {R} ^{2n+1}$ состоящая из точек, имеющих не менее $n+1$ координаты являются иррациональными числами , имеющими универсальные свойства для вложения пространств размерности. $n$.)

Предполагая, что X метризуемо, мы имеем ( Мирослав Катетов )

ind X ≤ Ind X = тусклый X ;

или предполагая X компактным и Хаусдорфовым ( П. С. Александров )

dim X ≤ Ind X ≤ Ind X .

Любое неравенство здесь может быть строгим; пример Владимира Филиппова показывает, что два индуктивных измерения могут различаться.

Сепарабельное метрическое пространство X удовлетворяет неравенству $\operatorname {Ind} X\leq n$ тогда и только тогда, когда для любого замкнутого подпространства $A$ пространства $X$ и каждое непрерывное отображение $f:A\to S^{n}$ существует непрерывное продолжение ${\bar {f}}:X\to S^{n}$.

Дальнейшее чтение

• Крилли, Тони, 2005, «Пол Урысон и Карл Менгер: статьи по теории размерностей» в журнале Grattan-Guinness, I. , изд., «Веховые статьи в западной математике» . Эльзевир: 844-55.
• Энгелькинг Р. Теория размерностей. Конечное и бесконечное , Хелдерманн Верлаг (1995), ISBN   3-88538-010-2 .
• В. В. Федорчук, « Основы теории размерности» , опубликованные в Энциклопедии математических наук, том 17, «Общая топология I» , (1993) А. В. Архангельский и Л. С. Понтрягин (ред.), Springer-Verlag, Берлин ISBN   3-540-18178-4 .
• В. В. Филиппов, Об индуктивной размерности произведения бикомпактов , Сов. Математика. Докл., 13 (1972), № 1, 250-254.
• А. Р. Пирс, Теория размерности общих пространств , Издательство Кембриджского университета (1975).