Сокращенная математика

Сжатая математика — это теория, разработанная Дастином Клаузеном и Питером Шольце, которая, по мнению некоторых, ^{[ ВОЗ? ]} стремится объединить различные математические разделы, включая топологию , сложную геометрию и алгебраическую геометрию . ^{[ нужна ссылка ]}

Идея

Фундаментальную идею в развитии теории дает замена топологических пространств конденсированными множествами , определенными ниже. Категория конденсированных множеств, а также родственные категории, такие как категория конденсированных абелевых групп, ведут себя гораздо лучше , чем категория топологических пространств. В частности, в отличие от категории топологических абелевых групп , категория конденсированных абелевых групп является абелевой категорией , что позволяет использовать инструменты гомологической алгебры при изучении этих структур.

Структура сокращенной математики оказывается достаточно общей, так что, рассматривая различные «пространства» с пучками , оцененными в сжатых алгебрах, можно включить алгебраическую геометрию , p-адическую аналитическую геометрию и комплексную аналитическую геометрию . ^[1]

Определение

— Конденсированное множество это пучок множеств на месте бесконечных множеств с топологией Гротендика , заданной конечными совместно сюръективными наборами отображений. Аналогично, конденсированная группа , конденсированное кольцо и т. д. определяется как пучок групп, колец и т. д. на этом узле.

В любое топологическое пространство $X$ можно связать конденсированное множество, обычно обозначаемое ${\underline {X}}$ , что для любого бесконечного множества $S$ связывает набор непрерывных отображений $S\to X$ . Если $X$ является топологической группой или кольцом, то ${\underline {X}}$ представляет собой конденсированную группу или кольцо.

История

В 2013 году Бхаргав Бхатт и Питер Шольце ввели общее понятие проэтального связанного сайта, с произвольной схемой . В 2018 году вместе с Дастином Клаузеном они пришли к выводу, что уже проэтальный участок одной точки, изоморфный введенному выше участку проконечных множеств, имеет достаточно богатую структуру, чтобы реализовать большие классы топологических пространств в виде пучков. на этом. Дальнейшие разработки привели к созданию теории конденсированных множеств и твердых абелевых групп , с помощью которой можно включить неархимедову геометрию . в теорию ^[2]

В 2020 году Шольце завершил доказательство результата, который позволит включить функциональный анализ , а также сложную геометрию в структуру сокращенной математики, используя понятие жидких векторных пространств . Аргументация оказалась весьма тонкой, и чтобы избавиться от любых сомнений в достоверности результата, он попросил других математиков предоставить формализованное и проверенное доказательство . ^[3]^[4] В течение 6-месячного периода группа под руководством Йохана Коммелина проверяла центральную часть доказательства с помощью помощника по доказательству Lean . ^[5]^[4] По состоянию на 14 июля 2022 года доказательство завершено. ^[6]

По совпадению, в 2019 году Барвик и Хейн представили очень похожую теорию пикнотических объектов . Эта теория очень тесно связана с теорией конденсированных множеств, при этом основные различия носят теоретико-множественный характер: пикнотическая теория зависит от выбора вселенных Гротендика , тогда как конденсированная математика может разрабатываться строго в рамках ZFC . ^[7]

См. также

Ссылки

^ Клаузен, Дастин; Шольце, Питер (2022). «Сжатая математика и сложная геометрия» (PDF) .
^ Шольце, Питер (2019). «Лекции по сокращенной математике» (PDF) .
^ Шольце, Питер (05 декабря 2020 г.). «Жидкий тензорный эксперимент» . Зена . Проверено 28 июня 2022 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Хартнетт, Кевин (28 июля 2021 г.). «Помощник по доказательству переходит в высшую математику» . Журнал Кванта .
^ Шольце, Питер (5 июня 2021 г.). «Полугода эксперимента с тензором жидкости: удивительные события» . Зена . Проверено 28 июня 2022 г.
^ «leanprover-community/lean-liquid» . Гитхаб . Проверено 14 июля 2022 г.
^ «Пикнотические множества» . нЛаб .

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки

Шольце, Питер (2019). «Лекции по сокращенной математике» (PDF) .
Шольце, Питер (2020). «Лекции по аналитической геометрии» (PDF) .
Клаузен, Дастин; Шольце, Питер (2022). «Сжатая математика и сложная геометрия» (PDF) .
Пстраговский, Петр Тадеуш (09.11.2020). «Мастер-класс по сокращенной математике» . www.math.ku.dk. Проверено 21 июня 2021 г.

[1] Клаузен, Дастин; Шольце, Питер (2022). «Сжатая математика и сложная геометрия» (PDF) .

[2] Шольце, Питер (2019). «Лекции по сокращенной математике» (PDF) .

[3] Шольце, Питер (05 декабря 2020 г.). «Жидкий тензорный эксперимент» . Зена . Проверено 28 июня 2022 г.

[Quanta21-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Хартнетт, Кевин (28 июля 2021 г.). «Помощник по доказательству переходит в высшую математику» . Журнал Кванта .

[5] Шольце, Питер (5 июня 2021 г.). «Полугода эксперимента с тензором жидкости: удивительные события» . Зена . Проверено 28 июня 2022 г.

[6] «leanprover-community/lean-liquid» . Гитхаб . Проверено 14 июля 2022 г.

[7] «Пикнотические множества» . нЛаб .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]