Каменное пространство

В топологии и смежных областях математики существует пространство Стоуна , также известное как бесконечное пространство. или проконечное множество , представляет собой компактное вполне несвязное хаусдорфово пространство . Пространства Стоуна названы в честь Маршалла Харви Стоуна, который ввел и изучил их в 1930-х годах в ходе своего исследования булевых алгебр , кульминацией которого стала его теорема о представлении для булевых алгебр .

Эквивалентные условия

Следующие условия на топологическое пространство $X$ эквивалентны:

• $X$ — пространство Камня;
• $X$ гомеоморфен проективному пределу ; (в категории топологических пространств обратной системы конечных дискретных пространств )
• $X$ компактен и полностью разделен ;
• $X$ компактен T ₀ и нульмерен (в смысле малой индуктивной размерности );
• $X$ является когерентным и хаусдорфовым.

Примеры

Важные примеры пространств Стоуна включают конечные дискретные пространства , множество Кантора и пространство $\mathbb {Z} _{p}$ из $p$-адические целые числа , где $p$ это любое простое число . Обобщая эти примеры, любой продукт произвольного числа конечных дискретных пространств является пространством Стоуна, а топологическое пространство, лежащее в основе любой проконечной группы, является пространством Стоуна. Компактификация Стоуна -Чеха натуральных чисел с дискретной топологией, как и любого дискретного пространства, является пространством Стоуна.

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр

Основная статья: Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр

Каждой булевой алгебре $B$ мы можем связать пространство Stone $S(B)$ следующим образом: элементы $S(B)$ ультрафильтры ​ на $B,$ и топология на $S(B),$ называется топология Стоуна порождается множествами вида $\{F\in S(B):b\in F\},$ где $b\in B.$

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна булевой алгебре открыто- замкнутых множеств пространства Стоуна. $S(B)$; и более того, каждое пространство Камня $X$ гомеоморфно пространству Стоуна, принадлежащему булевой алгебре открыто-замкнутых множеств $X.$ Эти назначения являются функториальными , и мы получаем теоретико-категориальную двойственность между категорией булевых алгебр (с гомоморфизмами в качестве морфизмов) и категорией пространств Стоуна (с непрерывными отображениями в качестве морфизмов).

Теорема Стоуна породила ряд подобных дуальностей, теперь известных под общим названием дуальности Стоуна .

Сокращенная математика

Категория пространств Стоуна с непрерывными отображениями эквивалентна прокатегории категории , конечных множеств что объясняет термин «проконечные множества». Проконечные множества лежат в основе проекта сжатой математики , целью которого является замена топологических пространств «конденсированными множествами», где топологическое пространство X заменяется функтором , который переводит проконечное множество S в множество непрерывных отображений из S. до Х. ​

См. также

• Компактификация Стоуна-Чеха # Конструкция с использованием ультрафильтров - универсальное отображение топологического пространства X в компактное хаусдорфово пространство βX, такое, что любое отображение из X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX однозначно; если X — Тихонов, то X — плотное подпространство страниц βX, отображающее описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Тип (теория моделей) - Понятие в теории моделей.

Дальнейшее чтение

• Джонстон, Питер (1982). Каменные просторы . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 3. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-33779-8 .