Эквивариантная топология

В математике , эквивариантная топология — это исследование топологических пространств обладающих определенными симметриями. При изучении топологических пространств часто рассматривают непрерывные отображения. $f:X\to Y$ , и хотя эквивариантная топология также учитывает такие карты, существует дополнительное ограничение: каждая карта «соблюдает симметрию» как в своей области , так и в целевом пространстве.

Понятие симметрии обычно отражается при рассмотрении группового действия группы . $G$ на $X$ и $Y$ и требуя этого $f$ эквивариантно относительно этого действия, так что $f(g\cdot x)=g\cdot f(x)$ для всех $x\in X$ , свойство, обычно обозначаемое $f:X\to _{G}Y$ . Говоря эвристически, стандартная топология рассматривает два пространства как эквивалентные «с точностью до деформации», в то время как эквивариантная топология считает пространства эквивалентными с точностью до деформации, пока она обращает внимание на любую симметрию, которой обладают оба пространства. Знаменитой теоремой эквивариантной топологии является теорема Борсука–Улама , которая утверждает, что каждая $\mathbf {Z} _{2}$ -эквивариантное отображение $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ обязательно исчезает.

Индуцированные G -пучки

Важная конструкция, используемая в эквивариантных когомологиях и других приложениях, включает естественно возникающее групповое расслоение ( см. В главном расслоении подробнее ).

Рассмотрим сначала случай, когда $G$ действует свободно на $X$ . Затем, учитывая $G$ -эквивариантное отображение $f:X\to _{G}Y$ , получим сечения $s_{f}:X/G\to (X\times Y)/G$ данный $[x]\mapsto [x,f(x)]$ , где $X\times Y$ получает диагональное действие $g(x,y)=(gx,gy)$ , и пакет $p:(X\times Y)/G\to X/G$ , с волокном $Y$ и проекция, заданная $p([x,y])=[x]$ . Часто пишут общее пространство $X\times _{G}Y$ .

В более общем плане задание $s_{f}$ на самом деле не соответствует $(X\times Y)/G$ в целом. С $f$ эквивариантно, если $g\in G_{x}$ (подгруппа изотропии), то в силу эквивариантности имеем, что $g\cdot f(x)=f(g\cdot x)=f(x)$ , так что на самом деле $f$ будет сопоставлен с коллекцией $\{[x,y]\in (X\times Y)/G\mid G_{x}\subset G_{y}\}$ . В этом случае расслоение можно заменить гомотопическим фактором , где $G$ действует свободно и гомотопно индуцированному расслоению на $X$ к $f$ .

Приложения к дискретной геометрии

Точно так же, как из теоремы Борсука-Улама можно вывести теорему о сэндвиче с ветчиной , можно найти множество применений эквивариантной топологии к задачам дискретной геометрии . ^[1]^[2] Это достигается с помощью парадигмы тестовой карты конфигурационного пространства:

Дана геометрическая задача $P$ , мы определяем конфигурационное пространство , $X$ , который параметризует все связанные решения задачи (например, точки, линии или дуги). Кроме того, мы рассматриваем тестовое пространство $Z\subset V$ и карта $f:X\to V$ где $p\in X$ является решением проблемы тогда и только тогда, когда $f(p)\in Z$ . Наконец, естественные симметрии в дискретной задаче обычно рассматривают некоторой группой $G$ который действует на $X$ и $V$ так что $f$ эквивариантно относительно этих действий. Проблема решена, если мы сможем доказать отсутствие эквивариантного отображения. $f:X\to V\setminus Z$ .

Препятствия к существованию таких отображений часто формулируются алгебраически на основе топологических данных $X$ и $V\setminus Z$ . ^[3] Архетипический пример такого препятствия можно получить, имея $V$ векторное пространство и $Z=\{0\}$ . В этом случае неисчезающее отображение также будет порождать неисчезающее сечение. $s_{f}:x\mapsto [x,f(x)]$ из обсуждения выше, так что $\omega _{n}(X\times _{G}Y)$ , высший класс Стифеля-Уитни должен был бы исчезнуть.

Примеры

Карта идентичности $i:X\to X$ всегда будет эквивариантным.
Если мы позволим $\mathbf {Z} _{2}$ действовать антиподально на единичной окружности, тогда $z\mapsto z^{3}$ эквивариантна, так как является нечетной функцией .
Любая карта $h:X\to X/G$ эквивариантно, когда $G$ действует тривиально на фактор, поскольку $h(g\cdot x)=h(x)$ для всех $x$ .

См. также

Ссылки

^ Матушек, Иржи (2003). Использование теоремы Борсука-Улама: Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии . Университетский текст. Спрингер.
^ Гудман, Джейкоб Э.; О'Рурк, Джозеф, ред. (15 апреля 2004 г.). Справочник по дискретной и вычислительной геометрии, второе издание (2-е изд.). Бока-Ратон: Чепмен и Холл/CRC. ISBN 9781584883012 .
^ Матшке, Бенджамин. «Методы эквивариантной топологии в дискретной геометрии» (PDF) .

[1] Матушек, Иржи (2003). Использование теоремы Борсука-Улама: Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии . Университетский текст. Спрингер.

[2] Гудман, Джейкоб Э.; О'Рурк, Джозеф, ред. (15 апреля 2004 г.). Справочник по дискретной и вычислительной геометрии, второе издание (2-е изд.). Бока-Ратон: Чепмен и Холл/CRC. ISBN 9781584883012 .

[3] Матшке, Бенджамин. «Методы эквивариантной топологии в дискретной геометрии» (PDF) .

[1]

[2]

[3]