Симплициальный набор

В математике — симплициальное множество это объект, составленный из симплексов определенным образом . Симплициальные множества — это многомерные обобщения ориентированных графов , частично упорядоченных множеств и категорий . Формально симплициальное множество можно определить как контравариантный функтор из категории симплекса в категорию множеств . Симплициальные множества были представлены в 1950 году Сэмюэлем Эйленбергом и Джозефом А. Зильбером. ^[1]

Каждое симплициальное множество порождает «хорошее» топологическое пространство , известное как его геометрическая реализация. Эта реализация состоит из геометрических симплексов , склеенных по правилам симплициального множества. Действительно, можно рассматривать симплициальное множество как чисто комбинаторную конструкцию, предназначенную для отражения сущности « хорошего » топологического пространства для целей теории гомотопий . В частности, категория симплициальных множеств имеет естественную модельную структуру , а соответствующая гомотопическая категория эквивалентна знакомой гомотопической категории топологических пространств.

Симплициальные множества используются для определения квазикатегорий — основного понятия теории высших категорий . Построение, аналогичное построению симплициальных множеств, может быть осуществлено в любой категории, а не только в категории множеств, что дает понятие симплициальных объектов .

Мотивация

Симплициальное множество — это категориальная (то есть чисто алгебраическая) модель, охватывающая те топологические пространства, которые могут быть построены (или точно представлены с точностью до гомотопии) из симплексов и их отношений инцидентности. Это похоже на подход комплексов CW к моделированию топологических пространств с той существенной разницей, что симплициальные множества являются чисто алгебраическими и не несут никакой реальной топологии.

Возвращаясь к реальным топологическим пространствам, существует геометрической реализации функтор , который превращает симплициальные множества в компактно порожденные пространства Хаусдорфа . Большинство классических результатов о комплексах CW в гомотопической теории обобщаются аналогичными результатами для симплициальных множеств. Хотя алгебраические топологи в основном продолжают отдавать предпочтение комплексам CW, растет число исследователей, заинтересованных в использовании симплициальных множеств для приложений в алгебраической геометрии , где комплексы CW естественным образом не существуют.

Интуиция

Симплициальные множества можно рассматривать как многомерное обобщение направленных мультиграфов . Симплициальный набор содержит вершины (известные в этом контексте как «0-симплексы») и стрелки («1-симплексы») между некоторыми из этих вершин. Две вершины могут быть соединены несколькими стрелками, также допускаются направленные петли, соединяющие вершину с самой собой. В отличие от ориентированных мультиграфов, симплициальные множества могут также содержать высшие симплексы. Например, 2-симплекс можно рассматривать как двумерную «треугольную» фигуру, ограниченную списком из трех вершин , B , C и трех стрелок B → C , A → C и A → B. A В общем, n -симплекс — это объект, состоящий из списка из n + 1 вершин (которые являются 0-симплексами) и n + 1 граней (которые являются ( n - 1)-симплексами). Вершины i -й грани — это вершины n- симплекса минус i -я вершина. Вершины симплекса не обязательно должны быть различными, и симплекс не определяется своими вершинами и гранями: два разных симплекса могут иметь один и тот же список граней (и, следовательно, один и тот же список вершин), точно так же, как две разные стрелки в мультиграфе могут иметь один и тот же список граней (и, следовательно, один и тот же список вершин). соединить одинаковые две вершины.

Симплициальные множества не следует путать с абстрактными симплициальными комплексами , которые обобщают простые неориентированные графы, а не ориентированные мультиграфы.

Формально симплициальное множество X представляет собой совокупность множеств X _n , n = 0, 1, 2, ... вместе с некоторыми отображениями между этими множествами: отображениями граней d _{n , i} : X _n → X _{n −1} ( n = 1, 2, 3, ... и 0 ≤ i ≤ n ) и отображения вырождения s _{n , i} : X _n → X _{n +1} ( n = 0, 1, 2, ... и 0 ≤ i ≤ н ). Мы думаем об элементах X _n как о n -симплексах X . Отображение d _{n , i} присваивает каждому такому n -симплексу его i -ю грань, грань, "противоположную" (т.е. не содержащую) i -й вершине. Отображение s _{n , i} каждому n -симплексу ставит в соответствие вырожденный ( n +1)-симплекс, возникающий из данного путем дублирования i -й вершины. между отображениями dn _{, , i} и sn _{i согласованности Это описание неявно требует определенных отношений} . Вместо того, чтобы явно требовать этих симплициальных тождеств как части определения, в кратком и элегантном современном определении используется язык теории категорий .

Формальное определение

Обозначим через ∆ категорию симплекса . Объектами ∆ являются непустые линейно упорядоченные множества вида

[ п ] = {0, 1, ..., п }

с n ≥0. Морфизмы в ∆ являются (нестрого) функциями, сохраняющими порядок между этими множествами.

Симплициальное множество X является контравариантным функтором.

X : Δ → Установить

где Set — категория множеств . (Альтернативно и эквивалентно можно определить симплициальные множества как ковариантные функторы из противоположной категории ∆ ^на в Set .) Учитывая симплициальное множество X, мы часто пишем X _n вместо X ([ n ]).

Симплициальные множества образуют категорию, обычно обозначаемую sSet , объекты которой являются симплициальными множествами и чьи морфизмы являются естественными преобразованиями между ними. Это не что иное, как категория предпучков на Δ. По существу, это топос .

Карты граней и вырождения и симплициальные тождества

Симплексная категория Δ порождается двумя особенно важными семействами морфизмов (отображений), образы которых под заданным функтором симплициального множества называются картами граней и картами вырождения этого симплициального множества.

Отображения граней симплициального набора X — это образы в этом симплициальном наборе морфизмов. $\delta ^{n,0},\dotsc ,\delta ^{n,n}\colon [n-1]\to [n]$ , где $\delta ^{n,i}$ это единственная (сохраняющая порядок) инъекция $[n-1]\to [n]$ что "промахивается" $i$ .Обозначим эти карты граней через $d_{n,0},\dotsc ,d_{n,n}$ соответственно, так что $d_{n,i}$ это карта $X_{n}\to X_{n-1}$ . Если первый индекс ясен, пишем $d_{i}$ вместо $d_{n,i}$ .

Карты вырождения симплициального множества X — это образы в этом симплициальном множестве морфизмов $\sigma ^{n,0},\dotsc ,\sigma ^{n,n}\colon [n+1]\to [n]$ , где $\sigma ^{n,i}$ - единственная (сохраняющая порядок) сюръекция $[n+1]\to [n]$ это "попадает" $i$ дважды.Обозначим эти отображения вырождения через $s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}$ соответственно, так что $s_{n,i}$ это карта $X_{n}\to X_{n+1}$ . Если первый индекс ясен, пишем $s_{i}$ вместо $s_{n,i}$ .

Определенные отображения удовлетворяют следующим симплициальным тождествам :

$d_{i}d_{j}=d_{j-1}d_{i}$ если я < j . (Это сокращение от $d_{n-1,i}d_{n,j}=d_{n-1,j-1}d_{n,i}$ если 0 ≤ i < j ≤ n .)
$d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ если я < j .
$d_{i}s_{j}={\text{id}}$ если я = j или я = j + 1.
$d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ если я > j + 1.
$s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ если я ≤ j .

Обратно, учитывая последовательность множеств X _n вместе с отображениями $d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}$ и $s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}$ которые удовлетворяют симплициальным тождествам, существует единственное симплициальное множество X , имеющее эти карты граней и вырождения. Таким образом, тождества предоставляют альтернативный способ определения симплициальных множеств.

Примеры

Учитывая упорядоченное множество ( S ,≤), мы можем определить симплициальное множество NS , нерв S частично , следующим образом: для каждого объекта [ n ] из Δ мы устанавливаем NS ([ n ]) = hom _{po-множество} ( [ n ] , S ), сохраняющие порядок отображения из [ n ] в S . Каждый морфизм φ:[ n ]→[ m ] в Δ является отображением, сохраняющим порядок, и посредством композиции индуцирует отображение NS (φ) : NS ([ m ]) → NS ([ n ]). Несложно проверить, что NS — контравариантный функтор из ∆ в Set : симплициальное множество.

Конкретно, n -симплексы нерва NS , т.е. элементы NS _n = NS ([ n ]), можно рассматривать как упорядоченные последовательности длины ( n +1) элементов из S : ( a ₀ ≤ a ₁ ≤ ... ≤ а _н ). Карта граней d _i удаляет i -й элемент из такого списка, а карта вырождения s _i дублирует i -й элемент.

построение можно выполнить для каждой категории C чтобы получить нерв NC C. Аналогичное , Здесь NC ([ n ]) — это набор всех функторов от [ n ] до C , где мы рассматриваем [ n ] как категорию с объектами 0,1,..., n и одним морфизмом от i до j всякий раз, когда я ≤ j .

Конкретно, n -симплексы нерва NC можно рассматривать как последовательности n составных морфизмов в C : a ₀ → a ₁ → ... → a _n . (В частности, 0-симплексы являются объектами C а 1-симплексы — морфизмами C .) Карта граней d0 _, удаляет первый морфизм из такого списка, карта граней dn _{карта граней dn} удаляет последний, а удаляет последний, а карта граней d _i для 0 < i < n отбрасывает a _i и составляет i -й и ( i + 1)-й морфизмы. Карты вырождения s _i удлиняют последовательность, вставляя тождественный морфизм в позицию i .

Мы можем восстановить частичное соединение S из нерва NS и категорию C из нерва NC ; в этом смысле симплициальные множества обобщают частично упорядоченные множества и категории.

Другой важный класс примеров симплициальных множеств дает особое множество SY топологического пространства Y . Здесь SY _n состоит из всех непрерывных отображений стандартного топологического n -симплекса в Y . Особый набор более подробно объясняется ниже.

Стандартный n -симплекс и категория симплексов

Стандартный -симплекс n ∆ , обозначаемый ^н, является симплициальным набором, определяемым как функтор hom _Δ (-, [ n ]), где [ n ] обозначает упорядоченный набор {0, 1, ..., n } первых ( n + 1) неотрицательных целых чисел. (Во многих текстах вместо этого оно пишется как hom([ n ],-), где homset понимается как находящийся в противоположной категории ∆ ^на. ^[2])

По лемме Йонеды -симплексы n симплициального множества X находятся в 1–1 соответствии с естественными преобразованиями из ∆ ^н до X, т.е. $X_{n}=X([n])\cong \operatorname {Nat} (\operatorname {hom} _{\Delta }(-,[n]),X)=\operatorname {hom} _{\textbf {sSet}}(\Delta ^{n},X)$ .

Более того, X порождает категорию симплексов , обозначаемую $\Delta \downarrow {X}$ , объектами которого являются отображения ( т.е. естественные преобразования) ∆ ^н → X и чьи морфизмы являются естественными преобразованиями ∆ ^н → Д ^м над X, возникающие из отображений [ n ] → [ m ] в ∆. То есть, $\Delta \downarrow {X}$ является категорией среза Δ над X . Следующий изоморфизм показывает, что симплициальное множество X является копределом своих симплексов: ^[3]

X\cong \varinjlim _{\Delta ^{n}\to X}\Delta ^{n}

где копредел берется по категории симплексов X .

Геометрическая реализация

Существует функтор |•|: sSet → CGHaus, называемый геометрической реализацией, переводящий симплициальное множество X в соответствующую реализацию в категории компактно порожденных топологических пространств Хаусдорфа . Интуитивно, реализация X — это топологическое пространство (фактически комплекс CW ), полученное, если каждый n- симплекс X заменить топологическим n- симплексом (некоторым n- мерным подмножеством ( n + 1)-мерного евклидова пространства) определено ниже), и эти топологические симплексы склеиваются вместе так же, как симплексы X скрепляются вместе. При этом ориентация симплексов X теряется.

Чтобы определить функтор реализации, сначала определим его на стандартных n-симплексах ∆ ^н следующим образом: геометрическая реализация |Δ ^н| — стандартный топологический n - симплекс общего положения, заданный формулой

|\Delta ^{n}|=\{(x_{0},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}:0\leq x_{i}\leq 1,\sum x_{i}=1\}.

Тогда определение естественным образом распространяется на любое симплициальное множество X, полагая

|Х| = lim _{∆ ^н → Х} | Д ^н|

где копредел берется по n-симплексной категории X . Геометрическая реализация является функториальной на sSet .

Примечательно, что мы используем категорию CGHaus компактно порожденных хаусдорфовых пространств, а не категорию Top топологических пространств, в качестве целевой категории геометрической реализации: подобно sSet и в отличие от Top , категория CGHaus является декартово замкнутой ; категориальный продукт определяется по-разному в категориях Top и CGHaus , а продукт в CGHaus соответствует продукту в sSet посредством геометрической реализации.

Уникальный набор для пространства

Сингулярное множество топологического пространства Y — это симплициальное множество SY, определенное формулой

( SY )([ n ]) = его _{T на} (|Δ ^н|, Y ) для каждого объекта [ n ] ∈ ∆.

Каждое сохраняющее порядок отображение φ:[ n ]→[ m ] индуцирует непрерывное отображение |Δ ^н|→|Д ^м| естественным образом, что по композиции дает SY ( φ ) : SY ([ m ]) → SY ([ n ]). Это определение аналогично стандартной идее в сингулярных гомологиях «зонда» целевого топологического пространства стандартными топологическими n -симплексами. Более того, сингулярный функтор S правосопряжен .: к функтору геометрической реализации, описанному выше, т.е

домашний _топ ( | X |, Y ) ≅ домашний _набор ( X , SY )

для любого симплициального множества X и любого топологического пространства Y . Интуитивно это дополнение можно понять следующим образом: непрерывное отображение геометрической реализации X в пространство Y однозначно задано, если мы сопоставляем каждому симплексу X непрерывное отображение соответствующего стандартного топологического симплекса в Y таким образом что эти отображения совместимы с тем, как симплексы в X связаны друг с другом.

Гомотопическая теория симплициальных множеств

Чтобы определить структуру модели в категории симплициальных множеств, необходимо определить расслоения, корасслоения и слабые эквивалентности. Можно определить расслоения как кановские расслоения . Отображение симплициальных множеств называется слабой эквивалентностью, если его геометрическая реализация является слабой гомотопической эквивалентностью пространств . Отображение симплициальных множеств называется корасслоением, если оно является мономорфизмом симплициальных множеств. Это трудная теорема Дэниела Квиллена о том, что категория симплициальных множеств с этими классами морфизмов становится модельной категорией и действительно удовлетворяет аксиомам для правильной замкнутой симплициальной модельной категории .

Ключевым поворотным моментом теории является то, что геометрическая реализация расслоения Кана является расслоением Серра пространств. Имея структуру модели, можно разработать гомотопическую теорию симплициальных множеств, используя стандартные гомотопической алгебры методы . Более того, геометрическая реализация и сингулярные функторы дают эквивалентность Квиллена замкнутых модельных категорий, индуцирующую эквивалентность

|•|: Хо ( sSet ) ↔ Хо ( Вверх )

между гомотопической категорией симплициальных множеств и обычной гомотопической категорией CW-комплексов с гомотопическими классами непрерывных отображений между ними. Это часть общегоопределение дополнения Квиллена, согласно которому правосопряженный функтор (в данном случае функтор сингулярного множества) переводит расслоения (соответственно тривиальные расслоения) в расслоения (соответственно тривиальные расслоения).

Симплициальные объекты

Симплициальный объект X в категории C является контравариантным функтором.

Икс : Д → С

или, что то же самое, ковариантный функтор

Х : Д ^на → С,

где Δ по-прежнему обозначает категорию симплекса , а ^на противоположная категория . Когда C является категорией множеств , мы просто говорим о симплициальных множествах, которые были определены выше. Полагая C категорией групп или категорией абелевых групп , мы получаем категории sGrp симплициальных групп и sAb симплициальных абелевых групп соответственно.

Симплициальные группы и симплициальные абелевы группы также несут закрытые модельные структуры, индуцированные структурами лежащих в их основе симплициальных множеств.

Гомотопические группы симплициальных абелевых групп можно вычислить, используя соответствие Долда – Кана , которое дает эквивалентность категорий между симплициальными абелевыми группами и ограниченными цепными комплексами и задается функторами

Н: сАб → Ч ₊

и

Γ: Ch ₊ → sAb .

История и использование симплициальных множеств

Симплициальные множества первоначально использовались для точного и удобного описания пространств групп классификационных . Эта идея была значительно расширена идеей Гротендика орассмотрение классификации пространств категорий и, в частности, работы Квиллена по алгебраической K-теории . За эту работу, принесшую ему Филдсовскую медаль , Квилленразработали удивительно эффективные методы манипулированиябесконечные симплициальные множества. Эти методы использовались и в других областях, находящихся на границе алгебраической геометрии и топологии. Например, гомологии Андре – Квиллена кольца являются «неабелевыми гомологиями», определенными и изучаемыми таким образом.

И алгебраическая K-теория, и гомологии Андре – Квиллена определяются с использованием алгебраических данных для записи симплициального набора, а затем взятия гомотопических групп этого симплициального набора.

Симплициальные методы часто полезны, когда нужно доказать, что пространство является пространством цикла . Основная идея заключается в том, что если $G$ это группа с классификационным пространством $BG$ , затем $G$ гомотопически эквивалентно пространству петель $\Omega BG$ . Если $BG$ сама по себе является группой, мы можем повторять процедуру, и $G$ гомотопически эквивалентно пространству двойной петли $\Omega ^{2}B(BG)$ . В случае $G$ является абелевой группой, мы можем фактически повторять это бесконечно много раз и получить, что $G$ представляет собой бесконечное пространство циклов.

Даже если $X$ не является абелевой группой, может случиться так, что ее композиция будет достаточно коммутативной, чтобы можно было использовать приведенную выше идею для доказательства того, что $X$ представляет собой бесконечное пространство циклов. Таким образом, можно доказать, что алгебраическое $K$ -теория кольца, рассматриваемая как топологическое пространство, представляет собой пространство бесконечных петель.

В последние годы симплициальные множества стали использоваться в теории высших категорий и производной алгебраической геометрии . Квазикатегории можно рассматривать как категории, в которых состав морфизмов определен только с точностью до гомотопии, а также сохраняется информация о составе высших гомотопий. Квазикатегории определяются как симплициальные множества, удовлетворяющие одному дополнительному условию — слабому условию Кана.

См. также

Дельта-сет
Дендроидное множество , обобщение симплициального множества.
Симплициальный предпучок
Квазикатегория
Может быть сложным
Переписка Скрытого-Кана
Симплициальная гомотопия
Симплициальная сфера
Абстрактный симплициальный комплекс

Примечания

^ Эйленберг, Сэмюэл; Зильбер, Дж. А. (1950). «Полусимплициальные комплексы и сингулярные гомологии». Анналы математики . 51 (3): 499–513. дои : 10.2307/1969364 . JSTOR 1969364 .
^ Гельфанд и Манин, 2013.
^ Goerss & Jardine 1999 , с. 7

Ссылки

Гёрсс, Пол Г.; Джардин, Джон Ф. (1999). Симплициальная гомотопическая теория . Прогресс в математике. Том. 174. Биркхойзер. дои : 10.1007/978-3-0348-8707-6 . ISBN 978-3-7643-6064-1 . МР 1711612 .
Гельфанд, Сергей И.; Манин, Юрий Иванович (2013). Методы гомологической алгебры . Спрингер. ISBN 978-3-662-12492-5 .
Аллегретти, Дилан Г.Л. «Симплициальные множества и теорема Ван Кампена» (PDF) . CiteSeerX 10.1.1.539.7411 . (Элементарное введение в симплициальные множества) .
Куиллен, Дэниел (1973). «Высшая алгебраическая К-теория: I». В Бассе, Хайман (ред.). Высшие К-теории . Конспект лекций по математике. Том. 341. Шпрингер-Верлаг. стр. 85–147. ISBN 3-540-06434-6 .
Сигал, Грэм Б. (1974). «Категории и теории когомологий». Топология . 13 (3): 293–312. дои : 10.1016/0040-9383(74)90022-6 .

Дальнейшее чтение

Рил, Эмили . «Неторопливое введение в симплициальные множества» (PDF) .
Мэй, Дж. Питер . Симплициальные объекты в алгебраической топологии , Издательство Чикагского университета, 1967 г.
симплициальный набор в n Lab

[1] Эйленберг, Сэмюэл; Зильбер, Дж. А. (1950). «Полусимплициальные комплексы и сингулярные гомологии». Анналы математики . 51 (3): 499–513. дои : 10.2307/1969364 . JSTOR 1969364 .

[2] Гельфанд и Манин, 2013.

[3] Goerss & Jardine 1999 , с. 7

[1]

[2]

[3]