Теорема плотности (теория категорий)

В теории категорий , разделе математики, теорема плотности утверждает, что каждый предпучок множеств является копределом представимых предпучков каноническим способом.

Например, по определению симплициальное множество представляет собой предпучок в симплексной категории ∆, а представимое симплициальное множество имеет в точности вид $\Delta ^{n}=\operatorname {Hom} (-,[n])$ (называемый стандартным n -симплексом), поэтому теорема гласит: для каждого симплициального X множества

$X\simeq \varinjlim \Delta ^{n}$

где colim пробегает индексную категорию, определенную X .

Заявление

Пусть F — предпучок категории C ; т.е. объект категории функтора ${\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )$. Для индексной категории, по которой будет действовать копредел, пусть I будет категорией элементов F : это категория, в которой

1. объект - это пара $(U,x)$ состоящий из объекта U в C и элемента $x\in F(U)$,
2. морфизм $(U,x)\to (V,y)$ состоит из морфизма $u:U\to V$ в C такой, что $(Fu)(y)=x.$

Он поставляется с функтором забывчивости $p:I\to C$.

Тогда F — копредел диаграммы ( т. е. функтор)

$I{\overset {p}{\to }}C\to {\widehat {C}}$

где вторая стрелка — это вложение Йонеды : $U\mapsto h_{U}=\operatorname {Hom} (-,U)$.

Доказательство

Пусть f обозначает приведенную выше диаграмму. Чтобы показать, что копредел f равен F , нам нужно показать: для каждого предпучка G на C существует естественная биекция:

$\operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,G)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{G})$

где $\Delta _{G}$ — постоянный функтор со значением G , а Hom справа означает множество естественных преобразований. Это потому, что универсальное свойство копредела сводится к утверждению $\varinjlim -$ является левым сопряженным к диагональному функтору $\Delta _{-}.$

Для этого позвольте $\alpha :f\to \Delta _{G}$ быть естественным преобразованием. Это семейство морфизмов, индексированных объектами в I :

$\alpha _{U,x}:f(U,x)=h_{U}\to \Delta _{G}(U,x)=G$

удовлетворяющее свойству: для каждого морфизма $(U,x)\to (V,y),u:U\to V$ во мне , $\alpha _{V,y}\circ h_{u}=\alpha _{U,x}$(с $f((U,x)\to (V,y))=h_{u}.$)

Лемма Йонеды утверждает, что существует естественная биекция. $G(U)\simeq \operatorname {Hom} (h_{U},G)$. При этой биекции $\alpha _{U,x}$ соответствует уникальному элементу $g_{U,x}\in G(U)$. У нас есть:

$(Gu)(g_{V,y})=g_{U,x}$

потому что, согласно лемме Йонеды, $Gu:G(V)\to G(U)$ соответствует $-\circ h_{u}:\operatorname {Hom} (h_{V},G)\to \operatorname {Hom} (h_{U},G).$

Теперь для каждого объекта U в C пусть $\theta _{U}:F(U)\to G(U)$ быть функцией, заданной $\theta _{U}(x)=g_{U,x}$. Это определяет естественное преобразование $\theta :F\to G$; действительно, для каждого морфизма $(U,x)\to (V,y),u:U\to V$ в I у нас есть:

$(Gu\circ \theta _{V})(y)=(Gu)(g_{V,y})=g_{U,x}=(\theta _{U}\circ Fu)(y),$

с $(Fu)(y)=x$. Очевидно, что конструкция $\alpha \mapsto \theta$ является обратимым. Следовательно, $\alpha \mapsto \theta$ является необходимой естественной биекцией.

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-98403-8 . Збл   0906.18001 .