Компактно сгенерированное пространство

В топологии — топологическое пространство. $X$ называется компактно порожденным пространством или k-пространством , если его топология определяется компактами способом , уточненным ниже. На самом деле не существует общепринятого определения таких пространств, поскольку разные авторы используют варианты определения, которые не совсем эквивалентны друг другу. Кроме того, некоторые авторы включают некоторую аксиому разделения (например, пространство Хаусдорфа или слабое пространство Хаусдорфа ) в определение одного или обоих терминов, а другие нет.

В простейшем определении компактно порожденное пространство — это пространство, согласованное с семейством своих компактных подпространств, а это означает, что для каждого множества $A\subseteq X,$ $A$ открыт ​ в $X$ тогда и только тогда, когда $A\cap K$ открыт в $K$ для каждого компактного подпространства $K\subseteq X.$ Другие определения используют семейство непрерывных отображений компактных пространств в $X$ и объявить $X$ быть компактно порожденной, если ее топология совпадает с конечной топологией относительно этого семейства отображений. И другие варианты определения заменяют компакты бикомпактами Хаусдорфа .

Компактно порожденные пространства были разработаны для исправления некоторых недостатков категории топологических пространств . В частности, согласно некоторым определениям, они образуют декартову замкнутую категорию , но при этом содержат типичные интересующие нас пространства, что делает их удобными для использования в алгебраической топологии .

Определения

Общая основа определений

Позволять $(X,T)$ быть топологическим пространством , где $T$ — это топология , то есть совокупность всех открытых множеств в $X.$

существует несколько (неэквивалентных) определений компактно порожденного пространства или k-пространства В литературе . Эти определения имеют общую структуру, начиная с соответствующим образом определенного семейства. ${\mathcal {F}}$ непрерывных отображений некоторых компактов в $X.$ Различные определения различаются выбором семейства. ${\mathcal {F}},$ как подробно описано ниже.

Окончательная топология $T_{\mathcal {F}}$ на $X$ по отношению к семье ${\mathcal {F}}$ называется k- ификацией $T.$ Поскольку все функции в ${\mathcal {F}}$ были непрерывными в $(X,T),$ к-ификация $T$ тоньше (или равна ) исходной топологии $T$. Открытые множества в k-ификации называются k-open вступает в силу $X;$ это наборы $U\subseteq X$ такой, что $f^{-1}(U)$ открыт в $K$ для каждого $f:K\to X$ в ${\mathcal {F}}.$ Аналогичным образом, k-замкнутые множества в $X$ — замкнутые множества в своей k-ификации с соответствующей характеризацией. В космосе $X,$ каждое открытое множество является k-открытым, а каждое закрытое множество - k-замкнутым. Пространство $X$ вместе с новой топологией $T_{\mathcal {F}}$ обычно обозначается $kX.$

Пространство $X$ называется компактно порожденным или k-пространством (относительно семейства ${\mathcal {F}}$), если его топология определяется всеми отображениями в ${\mathcal {F}}$, в том смысле, что топология на $X$ равна его k-ификации; эквивалентно, если каждое k-открытое множество открыто в $X,$ или если каждое k-замкнутое множество замкнуто в $X;$ или короче, если $kX=X.$

Что касается различных вариантов для семьи ${\mathcal {F}}$, можно взять все отображения включений из определенных подпространств $X,$ например, все компактные подпространства или все компактные хаусдорфовы подпространства. Это соответствует выбору набора ${\mathcal {C}}$ подпространств $X.$ Пространство $X$ тогда компактно генерируется именно тогда, когда его топология согласована с этим семейством подпространств; а именно набор $A\subseteq X$ открыт (соответственно закрыт) в $X$ именно тогда, когда перекресток $A\cap K$ открыт (соответственно закрыт) в $K$ для каждого $K\in {\mathcal {C}}.$ Другой вариант — взять семейство всех непрерывных отображений из произвольных пространств определенного типа в $X,$ например, все такие отображения из произвольных компактов или из произвольных компактов Хаусдорфа.

Эти различные варианты выбора семейства непрерывных отображений в $X$ приводят к различным определениям компактно порожденного пространства . Кроме того, некоторые авторы требуют $X$ удовлетворять аксиоме разделения (например, Хаусдорфа или слабого Хаусдорфа ) как части определения, в то время как другие этого не делают. Определения в этой статье не будут включать в себя такую ​​аксиому разделения.

В качестве дополнительного общего замечания: достаточное условие, которое может быть полезно для того, чтобы показать, что пространство $X$ компактно порождается (относительно ${\mathcal {F}}$) — найти подсемейство ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ такой, что $X$ компактно порождается относительно ${\mathcal {G}}.$ Для когерентных пространств это соответствует показу того, что пространство когерентно с подсемейством семейства подпространств. Например, это дает один из способов показать, что локально компактные пространства компактно порождены.

Ниже приведены некоторые из наиболее часто используемых определений более подробно в порядке возрастания специфичности.

Для хаусдорфовых пространств все три определения эквивалентны. Итак, терминология компактно порожденное хаусдорфово пространство однозначно и относится к компактно порожденному пространству (в любом из определений), которое также является хаусдорфовым .

Определение 1

Неформально, пространство, топология которого определяется его компактными подпространствами или, что то же самое, в данном случае, всеми непрерывными отображениями произвольных компактных пространств.

Топологическое пространство $X$ называется компактно порожденным или k-пространством, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

(1) Топология на $X$ когерентно ; с семейством своих компактных подпространств а именно, оно удовлетворяет свойству:

набор $A\subseteq X$ открыт (соответственно закрыт) в $X$ именно тогда, когда перекресток $A\cap K$ открыт (соответственно закрыт) в $K$ для каждого компактного подпространства $K\subseteq X.$

(2) Топология на $X$ совпадает с окончательной топологией относительно семейства всех непрерывных отображений $f:K\to X$ из всех компактных пространств $K.$

(3) $X$ является фактор-пространством топологической суммы компактов.

(4) $X$ является факторпространством слабо локально компактного пространства.

Как поясняется в последней статье о топологии , условие (2) четко определено, даже несмотря на то, что семейство непрерывных отображений произвольных компактов является не множеством, а собственным классом.

Эквивалентность условий (1) и (2) следует из того, что каждое включение из подпространства является непрерывным отображением; и с другой стороны, каждое непрерывное отображение $f:K\to X$ из компактного пространства $K$ имеет компактное изображение $f(K)$ и, таким образом, факторизуется за счет включения компактного подпространства $f(K)$ в $X.$

Определение 2

Неформально — пространство, топология которого определяется всеми непрерывными отображениями произвольных компактов Хаусдорфа.

Топологическое пространство $X$ называется компактно порожденным или k-пространством, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

(1) Топология на $X$ совпадает с окончательной топологией относительно семейства всех непрерывных отображений $f:K\to X$ из всех компактов Хаусдорфа $K.$ Другими словами, он удовлетворяет условию:

набор $A\subseteq X$ открыт (соответственно закрыт) в $X$ именно когда $f^{-1}(A)$ открыт (соответственно закрыт) в $K$ для каждого компакта Хаусдорфа $K$ и каждое непрерывное отображение $f:K\to X.$

(2) $X$ является фактор-пространством топологической суммы компактов Хаусдорфа.

(3) $X$ является факторпространством локально компактного хаусдорфова пространства.

Как поясняется в последней статье о топологии , условие (1) четко определено, даже несмотря на то, что семейство непрерывных отображений произвольных компактных хаусдорфовых пространств является не множеством, а собственным классом.

Каждое пространство, удовлетворяющее определению 2, также удовлетворяет определению 1. Обратное неверно. Например, одноточечная компактификация пространства Аренса-Форта компактна и, следовательно, удовлетворяет определению 1, но не удовлетворяет определению 2.

Определение 2 чаще используется в алгебраической топологии. Это определение часто сочетается со слабым свойством Хаусдорфа , образуя категорию CGWH компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств .

Определение 3

Неформально — пространство, топология которого определяется его компактными хаусдорфовыми подпространствами.

Топологическое пространство $X$ называется компактно-порожденным или k-пространством , если его топология когерентна с семейством его компактных хаусдорфовых подпространств; а именно, оно удовлетворяет свойству:

набор $A\subseteq X$ открыт (соответственно закрыт) в $X$ именно тогда, когда перекресток $A\cap K$ открыт (соответственно закрыт) в $K$ для любого компактного хаусдорфова подпространства $K\subseteq X.$

Каждое пространство, удовлетворяющее определению 3, также удовлетворяет определению 2. Обратное неверно. Например, пространство Серпинского $X=\{0,1\}$ с топологией $\{\emptyset ,\{1\},X\}$ не удовлетворяет определению 3, поскольку его компактные хаусдорфовы подпространства являются одноэлементными $\{0\}$ и $\{1\}$, и когерентная топология, которую они создают, вместо этого будет дискретной топологией . С другой стороны, оно удовлетворяет определению 2, поскольку гомеоморфно фактор -пространству компактного интервала $[0,1]$ получается путем определения всех точек $(0,1].$

Само по себе определение 3 не так полезно, как два других определения, поскольку ему не хватает некоторых свойств, подразумеваемых другими. Например, каждое факторпространство пространства, удовлетворяющего определению 1 или определению 2, является пространством того же типа. Но это не относится к определению 3.

Однако для слабых хаусдорфовых пространств определения 2 и 3 эквивалентны. Таким образом, категорию CGWH также можно определить путем объединения слабого свойства Хаусдорфа с определением 3, которое, возможно, легче сформулировать и с которым легче работать, чем с определением 2.

Мотивация

Компактно порожденные пространства первоначально назывались k-пространствами , в честь немецкого слова kompakt . Их изучал Гуревич , и их можно найти в книгах «Общая топология» Келли, «Топология» Дугунджи, «Теория рациональной гомотопии» Феликса, Гальперина и Томаса.

Поводом для их более глубокого изучения послужили в 1960-е годы хорошо известные недостатки обычной категории топологических пространств . Это не может быть декартовой замкнутой категорией , обычное декартово произведение идентификационных карт не всегда является идентификационным отображением, и обычное произведение CW-комплексов не обязательно должно быть CW-комплексом. Напротив, категория симплициальных множеств обладала многими удобными свойствами, в том числе декартовой замкнутостью. История изучения ремонта этой ситуации изложена в статье на Русской лаборатории удобных категорий пространств .

Первое предложение (1962 г.) исправить эту ситуацию заключалось в том, чтобы ограничиться полной подкатегорией компактно порожденных хаусдорфовых пространств, которая фактически является декартово замкнутой. Эти идеи расширяются на основе теоремы двойственности де Фриза . Определение экспоненциального объекта приведено ниже. Другое предложение (1964 г.) заключалось в том, чтобы рассматривать обычные пространства Хаусдорфа, но использовать функции, непрерывные на компактных подмножествах.

Эти идеи распространяются на нехаусдорфовский случай; т.е. с другим определением компактно порожденных пространств. Это полезно, поскольку идентификационные пространства хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми.

В современной алгебраической топологии это свойство чаще всего сочетается со слабым свойством Хаусдорфа , так что оно работает в категории CGWH компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств .

Примеры

Как поясняется в разделе «Определения» , в литературе не существует общепринятого определения компактно порожденных пространств; но определения 1, 2, 3 из этого раздела являются одними из наиболее часто используемых. Чтобы выразить результаты более кратко, в этом разделе будут использоваться сокращения CG-1 , CG-2 , CG-3 для однозначного обозначения каждого из трех определений. Это обобщено в таблице ниже (другие эквивалентные условия для каждого из них см. в разделе «Определения»).

Аббревиатура	Краткое описание значения
КГ-1	Топология, когерентная с семейством своих компактных подпространств
КГ-2	Топология такая же, как окончательная топология относительно непрерывных отображений произвольных компактов Хаусдорфа.
КГ-3	Топология, когерентная с семейством своих компактных хаусдорфовых подпространств

Для хаусдорфовых пространств свойства CG-1, CG-2, CG-3 эквивалентны. можно назвать компактно порожденными Хаусдорфом Такие пространства без двусмысленности .

Каждое пространство CG-3 является CG-2, а каждое пространство CG-2 — это CG-1. Обратные импликации в целом не справедливы, как показывают некоторые приведенные ниже примеры.

Для слабых хаусдорфовых пространств свойства CG-2 и CG-3 эквивалентны.

Секвенциальные пространства — это CG-2. Сюда входят первые счетные пространства , дискретные пространства Александрова , конечные пространства .

Каждое пространство CG-3 является T ₁ пространством (поскольку задан одноэлементный $\{x\}\subseteq X,$ его пересечение с каждым компактным хаусдорфовым подпространством $K\subseteq X$ – пустое множество или единственная точка, замкнутая в $K;$ следовательно, синглтон замкнут в $X$). Конечные пространства T1 _имеют дискретную топологию . Таким образом, среди конечных пространств, которые все являются CG-2, пространства CG-3 имеют дискретную топологию. Любое конечное недискретное пространство, такое как пространство Серпинского , является примером пространства CG-2, которое не является CG-3.

Компактные пространства и слабо локально компактные пространства являются CG-1, но не обязательно CG-2 (см. примеры ниже).

Компактно порожденные хаусдорфовые пространства включают хаусдорфову версию различных классов пространств, упомянутых выше как CG-1 или CG-2, а именно секвенциальные хаусдорфовые пространства, первые счетные хаусдорфовы пространства, локально компактные хаусдорфовые пространства и т. д. В частности, метрические пространства и топологические многообразия. компактно генерируются. Комплексы CW также компактно генерируются по Хаусдорфу.

Чтобы привести примеры пространств, которые не компактно порождены, полезно изучить антикомпактные пространства. пространства, то есть пространства, все компактные подпространства которых конечны. Если пространство $X$ антикомпактно и T ₁ любое компактное подпространство $X$ имеет дискретную топологию и соответствующую k-ификацию $X$ — дискретная топология. Следовательно, любое антикомпактное T ₁ недискретное пространство не является CG-1. Примеры включают в себя:

• Счетная топология на несчетном пространстве.
• Одноточечная линделификация несчетного дискретного пространства (также называемого пространством Фортиссимо ).
• Пространство Аренс -Форт .
• Аппертское пространство .
• «Топология одиночного ультрафильтра».

Другие примеры (Хаусдорфовых) пространств, которые не являются компактно порожденными, включают:

• Произведение бесчисленного множества копий $\mathbb {R}$ (каждый с обычной евклидовой топологией ).
• Произведение бесчисленного множества копий $\mathbb {Z}$ (каждый с дискретной топологией ).

В качестве примеров пространств CG-1, а не CG-2, можно начать с любого пространства. $Y$ это не CG-1 (например, пространство Аренс-Форт или бесчисленное произведение копий $\mathbb {R}$) и пусть $X$ быть одноточечной компактификацией $Y.$ Пространство $X$ компактен, следовательно, CG-1. Но это не CG-2, поскольку открытые подпространства наследуют свойство CG-2 и $Y$ является открытым подпространством $X$ это не CG-2.

Свойства

( «Примеры» Значение сокращений CG-1, CG-2, CG-3 см. в разделе .)

Подпространства

Подпространства компактно порожденного пространства, вообще говоря, не являются компактно порожденными, даже в случае Хаусдорфа. Например, порядковое пространство $\omega _{1}+1=[0,\omega _{1}]$ где $\omega _{1}$ – первый несчетный ординал компактен по Хаусдорфу и, следовательно, компактно порожден. Его подпространство со всеми предельными ординалами, кроме $\omega _{1}$ удалено изоморфно пространству Фортиссимо , которое не является компактно порожденным (как упоминалось в разделе «Примеры», оно антикомпактно и недискретно). Другой пример — пространство Аренса. которая является секвенциальной по Хаусдорфу и, следовательно, компактно порожденной. Оно содержит в качестве подпространства пространство Аренса-Форта , которое не является компактно порожденным.

В пространстве CG-1 каждое замкнутое множество является CG-1. То же самое не относится к открытым множествам. Например, как показано в разделе «Примеры», существует много пространств, которые не являются CG-1, но они открыты в своей одноточечной компактификации , которая является CG-1.

В пространстве CG-2 $X,$ каждое замкнутое множество есть CG-2; и то же самое происходит с каждым открытым множеством (поскольку существует фактор-отображение $q:Y\to X$ для некоторого локально компактного хаусдорфова пространства $Y$ и для открытого набора $U\subseteq X$ ограничение $q$ к $q^{-1}(U)$ также является фактор-отображением на локально компактном хаусдорфовом пространстве). То же самое верно в более общем плане для любого локально замкнутого множества, то есть пересечения открытого и закрытого множеств.

В пространстве CG-3 каждое замкнутое множество является CG-3.

Частные

Непересекающийся союз ${\coprod }_{i}X_{i}$ семьи $(X_{i})_{i\in I}$ топологических пространств является CG-1 тогда и только тогда, когда каждое пространство $X_{i}$ это КГ-1. Соответствующие утверждения справедливы и для CG-2. и КГ-3.

Факторпространство пространства CG-1 — это CG-1. В частности, каждое факторпространство слабо локально компактного пространства является CG-1. И наоборот, каждое пространство CG-1 $X$ является факторпространством слабо локально компактного пространства, которое можно рассматривать как дизъюнктное объединение компактных подпространств $X.$

Факторпространство пространства CG-2 — это CG-2. В частности, каждое факторпространство локально компактного хаусдорфова пространства является CG-2. И наоборот, каждое пространство CG-2 является фактор-пространством локально компактного хаусдорфова пространства.

Факторпространство пространства CG-3 вообще не является CG-3. Фактически, каждое пространство CG-2 является факторпространством пространства CG-3 (а именно, некоторого локально компактного хаусдорфова пространства); но есть пространства CG-2, которые не являются CG-3. Конкретный пример: пространство Серпинского не является CG-3, но гомеоморфно фактору компактного интервала. $[0,1]$ полученный путем выявления $(0,1]$ в точку.

В более общем смысле, любая финальная топология на множестве, индуцированная семейством функций из пространств CG-1, также является CG-1. То же самое касается и CG-2. Это следует путем объединения результатов, приведенных выше для непересекающихся объединений и фактор-пространств, вместе с поведением финальных топологий при композиции функций.

Клиновая сумма пространств CG-1 есть CG-1. То же самое справедливо и для CG-2. Это также применение приведенных выше результатов для непересекающихся объединений и факторпространств.

Продукты

Произведение двух компактно порожденных пространств не обязательно должно быть компактно порождено, даже если оба пространства хаусдорфовы и секвенциальны . Например, пространство $X=\mathbb {R} \setminus \{1,1/2,1/3,\ldots \}$ с топологией подпространства из действительной прямой сначала счетно ; пространство $Y=\mathbb {R} /\{1,2,3,\ldots \}$ с фактор-топологией от вещественной линии с целыми положительными числами, отождествленными с точкой, является последовательным. Оба пространства компактно порождены Хаусдорфом, но их произведение $X\times Y$ не генерируется компактно.

Однако в некоторых случаях произведение двух компактно порожденных пространств компактно порождено:

• Произведение двух первых счетных пространств является первым счетным, следовательно, CG-2.
• Произведением пространства CG-1 и локально компактного пространства является CG-1. (Здесь локально компактен в смысле условия (3) соответствующей статьи, а именно, каждая точка имеет локальную базу компактных окрестностей.)
• Произведением пространства CG-2 и локально компактного хаусдорфова пространства является CG-2.

При работе в категории компактно порожденных пространств (например, всех пространств CG-1 или всех пространств CG-2) обычная топология произведения на $X\times Y$ вообще не является компактно порожденным, поэтому не может служить категориальным произведением . Но это к-ификация $k(X\times Y)$ принадлежит к ожидаемой категории и является категориальным продуктом.

Непрерывность функций

Непрерывные функции в компактно порожденных пространствах — это те, которые хорошо ведут себя на компактных подмножествах. Точнее, пусть $f:X\to Y$ быть функцией из топологического пространства в другое и предположим, что область определения $X$ компактно генерируется согласно одному из определений в этой статье. Поскольку компактно порожденные пространства определяются в терминах финальной топологии , можно непрерывность выразить $f$ с точки зрения непрерывности состава $f$ с различными картами семейства, используемыми для определения окончательной топологии. Особенности заключаются в следующем.

Если $X$ является CG-1, функция $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда ограничение $f\vert _{K}:K\to Y$ непрерывен для каждого компакта $K\subseteq X.$

Если $X$ это CG-2, функция $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда композиция $f\circ u:K\to Y$ непрерывен для каждого компакта Хаусдорфа $K$ и непрерывная карта $u:K\to X.$

Если $X$ это CG-3, функция $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда ограничение $f\vert _{K}:K\to Y$ непрерывен для каждого компакта Хаусдорфа $K\subseteq X.$

Разное

Для топологических пространств $X$ и $Y,$ позволять $C(X,Y)$ обозначим пространство всех непрерывных отображений из $X$ к $Y$ топологизируется компактно-открытой топологией . Если $X$ является CG-1, компоненты пути в $C(X,Y)$ являются в точности классами гомотопической эквивалентности.

К-ификация

Учитывая любое топологическое пространство $X$ мы можем определить, возможно, более тонкую топологию на $X$ компактно сгенерированный, иногда называемый k-ификация топологии. Позволять $\{K_{\alpha }\}$ обозначим семейство компактных подмножеств $X.$ Определим новую топологию на $X$ объявив подмножество $A$ быть закрытым тогда и только тогда, когда $A\cap K_{\alpha }$ закрыт в $K_{\alpha }$ для каждого индекса $\alpha .$ Обозначим это новое пространство через $kX.$ Можно показать, что компактные подмножества $kX$ и $X$ совпадают, и индуцированные топологии на компактных подмножествах совпадают. Отсюда следует, что $kX$ компактно генерируется. Если $X$ был компактно сгенерирован для начала тогда $kX=X.$ В противном случае топология на $kX$ строго тоньше, чем $X$ (т.е. открытых множеств больше).

Эта конструкция является функториальной . Обозначим $\mathbf {CGTop}$ полная подкатегория $\mathbf {Top}$ с объектами компактно сгенерированные пространства и $\mathbf {CGHaus}$ полная подкатегория $\mathbf {CGTop}$ с объектами хаусдорфовых пространств. Функтор из $\mathbf {Top}$ к $\mathbf {CGTop}$ это занимает $X$ к $kX$ правосопряжён к функтору включения $\mathbf {CGTop} \to \mathbf {Top} .$

Экспоненциальный объект в $\mathbf {CGHaus}$ дается $k(Y^{X})$ где $Y^{X}$ — пространство непрерывных отображений из $X$ к $Y$ с компактно-открытой топологией .

Эти идеи можно обобщить на нехаусдорфовский случай. Это полезно, поскольку идентификационные пространства хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми.

См. также

• Компактно-открытая топология
• Счетно генерируемое пространство - топологическое пространство, в котором топология определяется его счетными подмножествами. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Конечно сгенерированное пространство - топологическое пространство, в котором открыто пересечение любого семейства открытых множеств. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• K-пространство (функциональный анализ)

Ссылки

• Браун, Рональд (2006), Топология и группоиды , Booksurge, ISBN  1-4196-2722-8
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN  3-88538-006-4 .
• Ламартин, В.Ф. (1977), Об основах теории k-групп , Варшава: Институт математики Польской академии наук.
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-98403-8 .
• Мэй, Дж. Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-51183-9 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Резк, Чарльз (2018). «Компактно сгенерированные пространства» (PDF) .
• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-486-68735-3 . МР   0507446 .
• Стрикленд, Нил П. (2009). «Категория пространств CGWH» (PDF) .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .

Внешние ссылки

• Компактно сгенерированные пространства - содержит отличный каталог свойств и конструкций с компактно сгенерированными пространствами.
• Компактно сгенерированное топологическое пространство в n Lab
• Удобная категория топологических пространств в n Lab