Топология Аперта

В общей топологии , разделе математики, топология Апперта , названная в честь Антуана Апперта ( 1934 ), представляет собой топологию на множестве X = {1, 2, 3,... } положительных целых чисел . ^[1]В топологии Апперта открытыми множествами являются те, которые не содержат 1, и те, которые асимптотически содержат почти все положительные целые числа. Пространство X с топологией Апперта называется пространством Апперта . ^[1]

Строительство

Для подмножества S из X пусть N( n , S ) обозначает количество элементов S , которые меньше или равны n :

\mathrm {N} (n,S)=\#\{m\in S:m\leq n\}.

S определяется как открытая в топологии Апперта, если она либо не содержит 1, либо имеет асимптотическую плотность, равную 1, т. е. удовлетворяет условиям

\lim _{n\to \infty }{\frac {{\text{N}}(n,S)}{n}}=1

.

Пустое множество открыто, поскольку оно не содержит единицы, а все множество X открыто, поскольку ${\text{N}}(n,X)/n=1$ для всех н .

Связанные топологии

Топология Апперта тесно связана с топологией пространства Форта , которая возникает в результате задания набора целых чисел, больших единицы, дискретной топологии , а затем принятия точки 1 в качестве точки на бесконечности в одноточечной компактификации пространства. ^[1] Топология Апперта тоньше топологии пространства Форта, поскольку любое коконечное подмножество X имеет асимптотическую плотность, равную 1.

Характеристики

Замкнутые подмножества S в X — это те, которые либо содержат 1, либо имеют нулевую асимптотическую плотность, а именно $\lim _{n\to \infty }\mathrm {N} (n,S)/n=0$ .

Каждая точка X имеет локальный базис из открытозамкнутых множеств , т. е. X — нульмерное пространство . ^[1]
Доказательство : каждая открытая окрестность точки 1 также закрыта. Для любого $x\neq 1$ , $\{x\}$ бывает и закрытым, и открытым.

X является хаусдорфовым и совершенно нормальным (T ₆ ).
Доказательство : X есть T ₁ . Учитывая любые два непересекающихся замкнутых множества A и B , по крайней мере одно из них, скажем A , не содержит 1. Тогда A является замкнуто-замкнутым, а A и его дополнение являются непересекающимися соответствующими окрестностями A и B , что показывает, что X нормально и Хаусдорф . Наконец, любое подмножество, в частности любое замкнутое подмножество, в счетном пространстве T ₁ является G _δ , поэтому X совершенно нормально.

X счетно, но не сначала счетно , ^[1] и, следовательно, не счетно и не метризуемо .

Подмножество X компактно тогда и только тогда , когда оно конечно. В частности, X не является локально компактным , поскольку не существует компактной окрестности 1.

X не счетно компактно . ^[1]
Доказательство: бесконечное множество. $\{2^{n}:n\geq 1\}$ имеет нулевую асимптотическую плотность, следовательно, замкнуто в X . Каждая его точка изолирована. Поскольку X содержит бесконечное замкнутое дискретное подмножество, оно не компактно в предельной точке и, следовательно, не счетно компактно.

См. также

Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Стин и Зеебах, 1995 , стр. 117–118.

Ссылки

Апперт, Антуан (1934), Свойства наиболее общих абстрактных пространств , Актуально. наук. Индиана, Герман, MR 3533016 .
Стин, Луизиана; Зеебах, Дж. А. (1995), Контрпримеры в топологии , Дувр, ISBN 0-486-68735-Х .

[CEIT-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Стин и Зеебах, 1995 , стр. 117–118.

[1]