Вторая изотопическая лемма Тома

В математике, особенно в дифференциальной топологии , вторая изотопическая лемма Тома является семейной версией первой изотопической леммы Тома ; т. е. он утверждает, что семейство отображений между стратифицированными пространствами Уитни локально тривиально, если оно является отображением Тома . ^[1] Как и первая лемма об изотопии, лемма была введена Рене Томом .

( Mather 2012 , § 11) дает набросок доказательства. ( Верона, 1984 ) дает упрощенное доказательство. Как и первая лемма об изотопии, лемма справедлива и для стратификации с условием Бекки (C) , которое более слабое, чем условие Уитни (B). ^[2]

Том картографирование

Позволять $f:M\to N$ быть гладким отображением между гладкими многообразиями и $X,Y\subset M$ подмногообразия такие, что $f|_{X},f|_{Y}$ оба имеют дифференциал постоянного ранга. Тогда условие Тома $(a_{f})$ называется выполненным, если для каждой последовательности $x_{i}$ в X, сходящийся к точке y в Y и такой, что $\operatorname {ker} (d(f|_{X})_{x_{i}})$ сходясь к плоскости $\tau$ в грассманиане мы имеем $\operatorname {ker} (d(f|_{Y})_{y})\subset \tau .$ ^[3]

Позволять $S\subset M,S'\subset N$ быть стратифицированными Уитни закрытыми подмножествами и $p:S\to Z,q:S'\to Z$ отображается в некоторое гладкое многообразие Z такое, что $f:S\to S'$ — отображение над Z ; то есть, $f(S)\subset S'$ и $q\circ f|_{S}=p$ . Затем $f$ называется отображением Тома, если выполняются следующие условия: ^[3]

$f|_{S},q$ являются правильными.
$q$ представляет собой погружение в каждый слой $S'$ .
Для каждого слоя X из S , $f(X)$ в слое Y лежит $S'$ и $f:X\to Y$ это погружение.
Состояние Тома $(a_{f})$ справедливо для каждой пары слоев $S$ .

Тогда вторая лемма Тома об изотопии гласит, что отображение Тома локально тривиально над Z ; т. е. каждая точка z из Z имеет окрестность U с гомеоморфизмами $h_{1}:p^{-1}(z)\times U\to p^{-1}(U),h_{2}:q^{-1}(z)\times U\to q^{-1}(U)$ над U такой, что $f\circ h_{1}=h_{2}\circ (f|_{p^{-1}(z)}\times \operatorname {id} )$ . ^[3]