Конус (топология)

Конус круга. Исходное пространство X выделено синим цветом, а свернутая конечная точка v — зеленым.

В топологии , особенно в алгебраической топологии , конус топологического пространства $X$ интуитивно получается путем растягивания X в цилиндр , а затем сжимания одной из его торцевых граней в точку. Конус X обозначается $CX$ или через $\operatorname {cone} (X)$ .

Определения

Формально конус X определяется как:

CX=(X\times [0,1])\cup _{p}v\ =\ \varinjlim {\bigl (}(X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{0\})\xrightarrow {p} v{\bigr )},

где $v$ является точкой (называемой вершиной конуса) и $p$ это проекция на эту точку. словами, это результат прикрепления цилиндра Другими $X\times [0,1]$ судя по лицу $X\times \{0\}$ в точку $v$ по проекции $p:{\bigl (}X\times \{0\}{\bigr )}\to v$ .

Если $X$ — непустое компактное подпространство евклидова пространства , конус на $X$ гомеоморфно объединению отрезков из $X$ в любую фиксированную точку $v\not \in X$ такие, что эти отрезки пересекаются только в $v$ сам. То есть топологический конус согласуется с геометрическим конусом для компактных пространств, когда последний определен. Однако конструкция топологического конуса является более общей.

Конус — это частный случай соединения : $CX\simeq X\star \{v\}=$ объединение $X$ с одной точкой $v\not \in X$ . ^[1]^: 76

Примеры

Здесь мы часто используем геометрический конус ( $CX$ где $X$ — непустой компакт ) евклидова пространства . Рассматриваемые пространства компактны, поэтому мы получаем тот же результат с точностью до гомеоморфизма.

Конус над точкой p вещественной прямой является отрезком в $\mathbb {R} ^{2}$ , $\{p\}\times [0,1]$ .
Конус над двумя точками {0, 1} представляет собой V-образную форму с конечными точками в {0} и {1}.
Конус на замкнутом интервале I реальной прямой представляет собой закрашенный треугольник (с одним из ребер I ), также известный как 2-симплекс (см. Последний пример).
Конус над многоугольником P пирамиду с основанием P. представляет собой
Конус над диском — это сплошной конус классической геометрии (отсюда и название понятия).
Конус над окружностью, заданный формулой

\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1{\mbox{ and }}z=0\}

– криволинейная поверхность сплошного конуса:

\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=(z-1)^{2}{\mbox{ and }}0\leq z\leq 1\}.

Это, в свою очередь, гомеоморфно замкнутому диску .

Более общие примеры: ^[1]^{: 77, Упражнение.1.}

Конус над n -сферой гомеоморфен замкнутому ( n + 1) -шару .
Конус над n -шаром также гомеоморфен замкнутому ( n +1) -шару .
Конус над n - симплексом является ( n + 1)-симплексом.

Характеристики

Все конусы связаны путями, поскольку каждую точку можно соединить с точкой вершины. Более того, каждый конус стягивается до вершины по гомотопии

h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s)

.

Конус используется в алгебраической топологии именно потому, что он вкладывает пространство как подпространство сжимаемого пространства.

Когда X компактно X и хаусдорфово (по сути, когда можно вложить в евклидово пространство), то конус $CX$ можно представить как совокупность линий, соединяющих каждую точку X с одной точкой. Однако эта картина терпит неудачу, когда X не компактно или не является Хаусдорфом, поскольку, как правило, фактор-топология на $CX$ будет тоньше , чем набор линий, соединяющих X с точкой.

Я работаю с конусом

Карта $X\mapsto CX$ вы представите функционера $C\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Top}$ о категории топологических пространств . Наверх . Если $f\colon X\to Y$ является непрерывным отображением , то $Cf\colon CX\to CY$ определяется

(Cf)([x,t])=[f(x),t]

,

где квадратные скобки обозначают классы эквивалентности .

Уменьшенный конус

Если $(X,x_{0})$ является заостренным пространством , существует соответствующая конструкция, приведенный конус , заданный формулой

(X\times [0,1])/(X\times \left\{0\right\}\cup \left\{x_{0}\right\}\times [0,1])

где мы принимаем базовую точку приведенного конуса за класс эквивалентности $(x_{0},0)$ . Согласно этому определению естественное включение $x\mapsto (x,1)$ становится базовой картой. Эта конструкция также дает функтор из категории точечных пространств в себя.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5 . Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером. , раздел 4.3

Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002. xii+544 стр. ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0
«Конус» . ПланетаМатематика .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5 . Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером. , раздел 4.3

[1]