Гипотеза Салливана

В математике гипотеза Салливана или гипотеза Салливана о картах классифицирующих пространств может относиться к любому из нескольких результатов и гипотез, выдвинутых в по теории гомотопии работе Денниса Салливана . Основная тема и мотивация касаются набора фиксированных точек в групповых действиях конечной группы. $G$. Однако самая элементарная формулировка сформулирована в терминах классифицирующего пространства. $BG$ такой группы. Грубо говоря, такое пространство сложно картографировать. $BG$ непрерывно в конечный комплекс CW $X$ нетривиальным образом. Подобную версию гипотезы Салливана впервые доказал Хейнс Миллер . В частности, в 1984 году Миллер доказал, что функциональное пространство , несущее компактно-открытую топологию , сохраняющих базовую точку отображений из $BG$ к $X$ является слабо сжимаемым .

Это эквивалентно утверждению, что карта $X$ → $F(BG,X)$ из X в функциональное пространство отображений $BG$ → $X$, не обязательно сохраняя базовую точку, заданную путем отправки точки $x$ из $X$ к постоянному отображению, образ которого $x$ является слабой эквивалентностью . Картографическое пространство $F(BG,X)$ является примером гомотопического множества неподвижных точек. Конкретно, $F(BG,X)$ — гомотопическое множество неподвижных точек группы $G$ действуя тривиальным действием на $X$. В целом для группы $G$ действуя на пространство $X$, неподвижными точками гомотопии являются неподвижные точки $F(EG,X)^{G}$ пространства отображения $F(EG,X)$ карт из универсальной обложки $EG$ из $BG$ к $X$ под $G$-действие на $F(EG,X)$ данный $g$ в $G$ действует на карте $f$ в $F(EG,X)$ отправив его в $gfg^{-1}$. $G$-эквивариантное отображение из $EG$ в одну точку $*$ индуцирует естественное отображение η: $X^{G}=F(*,X)^{G}$→ $F(EG,X)^{G}$ от неподвижных точек к гомотопическим неподвижным точкам $G$ действуя на $X$. Теорема Миллера состоит в том, что η является слабой эквивалентностью тривиального $G$-действия на конечномерных комплексах CW. является результат Гуннара Карлссона о гомологии Важным ингредиентом и мотивацией для его доказательства $BZ/2$ как неустойчивый модуль над алгеброй Стинрода .

Теорема Миллера обобщает версию гипотезы Салливана, в которой действие на $X$ допускается быть нетривиальным. В, Салливан предположил, что η является слабой эквивалентностью после некоторой процедуры p-пополнения, предложенной А. Баусфилдом и Д. Каном для группы $G=Z/2$. Эта гипотеза была неверной, как утверждалось, но правильная версия была предложена Миллером и независимо доказана Дуайером-Миллером-Нейзендорфером. Карлссон, и Жан Ланн , показывая, что естественная карта $(X^{G})_{p}$ → $F(EG,(X)_{p})^{G}$ является слабой эквивалентностью, когда порядок $G$ является степенью простого числа p, и где $(X)_{p}$ обозначает p-пополнение по Боусфилду–Кану $X$. Доказательство Миллера включает нестабильную спектральную последовательность Адамса , доказательство Карлссона использует его утвердительное решение гипотезы Сигала , а также предоставляет информацию о гомотопических неподвижных точках. $F(EG,X)^{G}$ до завершения, и доказательство Ланна включает его Т-функтор.

Внешние ссылки

• Готлиб, Дэниел Х. (2001) [1994], «Гипотеза Салливана» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Отрывок из книги
• Дж. Лурье Конспекты курса