Гипотеза Сигала

Гипотеза кольца Бернсайда Сигала , или, короче, гипотеза Сигала , — теорема в теории гомотопий , раздела математики . Теорема связывает кольцо Бернсайда конечной группы G со стабильной когомотопией классифицирующего пространства BG . Гипотеза была высказана в середине 1970-х годов Грэмом Сигалом и доказана в 1984 году Гуннаром Карлссоном . Это утверждение до сих пор часто называют гипотезой Сигала, хотя сейчас оно имеет статус теоремы.

Формулировка теоремы

Гипотеза Сигала имеет несколько различных формулировок, не все из которых эквивалентны. Вот слабая форма: для каждой конечной группы G существует изоморфизм

\varprojlim \pi _{S}^{0}\left(BG_{+}^{(k)}\right)\to {\widehat {A}}(G).

Здесь lim обозначает обратный предел , $π$ _S * обозначает стабильное когомотопическое кольцо, B обозначает классифицирующее пространство, верхний индекс k обозначает k - скелет , а нижний индекс + обозначает добавление непересекающейся базовой точки. В правой части шляпка обозначает пополнение кольца Бернсайда относительно его идеала увеличения .

Кольцо Бернсайда

Кольцо Бернсайда конечной группы G строится из категории конечных G -множеств как группа Гротендика . Точнее, пусть M ( G ) — коммутативный моноид классов изоморфизма конечных G -множеств с добавлением дизъюнктного объединения G -множеств и единичного элемента - пустого множества (которое является G единственным образом -множеством). Тогда A ( G ), группа Гротендика группы M ( G ), является абелевой группой. Фактически это свободная представленными G -множествами G / H , где H меняется по подгруппам G. абелева группа с базисными элементами , (Обратите внимание, что здесь H не предполагается как нормальная подгруппа группы G , поскольку, хотя G / H в этом случае не является группой, она все равно является G -множеством.) Кольцевая структура на A ( G ) индуцируется прямое произведение G -множеств; мультипликативное тождество — это (класс изоморфизма любого) одноточечного множества, которое становится G уникальным образом -множеством.

Кольцо Бернсайда является аналогом кольца представлений в категории конечных множеств, в отличие от категории конечномерных векторных пространств над полем (см. мотивацию ниже). Он оказался важным инструментом в теории представлений конечных групп.

Классифицирующее пространство

Для любой топологической группы G, допускающей структуру CW-комплекса , можно рассматривать категорию главных G -расслоений . Можно определить функтор из категории CW-комплексов в категорию множеств, сопоставляя каждому CW-комплексу X множество главных G -расслоений на X . Этот функтор сводится к функтору гомотопической категории CW-комплексов, и естественно задаться вопросом, представим ли полученный таким образом функтор . Ответ утвердительный, а представляющий объект называется классифицирующим пространством группы G и обычно обозначается BG . Если ограничиться гомотопической категорией CW-комплексов, то BG единственен. Любой CW-комплекс, гомотопически эквивалентный BG называется моделью BG , .

Например, если G — группа порядка 2, то моделью BG является бесконечномерное реальное проективное пространство. Можно показать, что если G конечна, то любой CW-комплекс, моделирующий BG, имеет ячейки сколь угодно большой размерности. С другой стороны, если G = Z целые числа, то классифицирующее пространство BG гомотопически эквивалентно кругу S ¹.

Мотивация и интерпретация

Содержание теоремы становится несколько яснее, если поместить ее в исторический контекст. В теории представлений конечных групп можно образовать объект $R[G]$ называется кольцом представления $G$ полностью аналогично конструкции кольца Бернсайда, описанной выше. Стабильная когомотопия является в некотором смысле естественным аналогом комплексной К-теории , которая обозначается $KU^{*}$ . Сигал был вдохновлен на свою гипотезу после того, как Майкл Атья доказал существование изоморфизма.

KU^{0}(BG)\to {\widehat {R}}[G]

что является частным случаем теоремы Атьи–Сигала о пополнении .

Ссылки

Адамс, Дж. Франк (1980). «Гипотеза Грэма Сигала о кольце Бернсайда». Симпозиум по топологии, Зиген, 1979 г. Конспект лекций по математике. Том. 788. Берлин: Шпрингер. стр. 378–395. МР 0585670 .
Карлссон, Гуннар (1984). «Эквивариантная стабильная гомотопия и гипотеза Бернсайдского кольца Сигала». Анналы математики . 120 (2): 189–224. дои : 10.2307/2006940 . JSTOR 2006940 . МР 0763905 .