Кольцо Бернсайда

В математике конечной кольцо Бернсайда группы — группы это алгебраическая конструкция, которая кодирует различные способы действия на конечных множествах. Идеи были предложены Уильямом Бернсайдом в конце девятнадцатого века. Алгебраическая кольцевая структура является более поздней разработкой Соломона (1967).

Формальное определение [ править ]

Для конечной группы G генераторы ее бернсайдовского кольца Ω( G ) являются формальными суммами классов изоморфизма конечных G -множеств . Для кольцевой структуры сложение задается дизъюнктным объединением G - множеств и умножением на их декартово произведение .

Кольцо Бернсайда — это свободный Z - модуль , генераторами которого являются (классы изоморфизма) типы группы G. орбитные

Если G действует на конечном множестве X , то можно написать ${\textstyle X=\bigcup _{i}X_{i}}$ (дизъюнктное объединение), где каждое X _i представляет собой одну G -орбиту. Выбор любого элемента x _i в X _i создает изоморфизм G / G _i → X _i , где Gi _— стабилизирующая (изотропная) подгруппа группы G в точке x _i . Другой выбор представителя y _i в X _i дает сопряженную подгруппу к в _Gi качестве стабилизатора. Это показывает, что генераторами Ω( G ) как Z -модуля являются орбиты G / H , поскольку H пробегает классы сопряженных подгрупп подгрупп G .

Другими словами, типичным элементом Ω( G ) является

\sum _{i=1}^{N}a_{i}[G/G_{i}],

где a _i в Z и G ₁ , G ₂ , ..., G _N — представители классов сопряженности подгрупп группы G .

Знаки [ править ]

Подобно тому, как теория символов упрощает работу с представлениями групп , метки упрощают работу с представлениями перестановок и кольцом Бернсайда.

Если G действует на X и H ≤ G ( H — подгруппа G ) , то метка H , на X — это количество элементов X которые фиксируются каждым элементом H : $m_{X}(H)=\left|X^{H}\right|$ , где

X^{H}=\{x\in X\mid h\cdot x=x,\forall h\in H\}.

Если H и K — сопряженные подгруппы, то m _X ( H ) = m _X ( K ) для любого конечного G -множества X ; действительно, если K = gHg ⁻¹ тогда Х ^К = г · Х ^ЧАС.

Также легко видеть, что для каждого H ⩽ G отображение Ω ( G ) → Z : X ↦ m _X ( H ) является гомоморфизмом. Это означает, что для знания меток G достаточно вычислить их на образующих Ω ( G ), а именно. орбиты G / H .

Для каждой пары подгрупп H , K ⩽ G определим

m(K,H)=\left|[G/K]^{H}\right|=\#\left\{gK\in G/K\mid HgK=gK\right\}.

Это м _Икс ( ЧАС ) для Икс знак равно G / K . Условие HgK = gK эквивалентно тому, что g ⁻¹Hg ≤ K , поэтому, если H не сопряжена с подгруппой K, то m ( K , H ) = 0.

Бернсайда Чтобы записать все возможные метки, формируют таблицу, Таблицу меток , следующим образом: Пусть G ₁ (= тривиальная подгруппа), G ₂ , ..., G _N = G — представители N классов сопряженности подгрупп группы G. , упорядоченный таким образом, что всякий раз, когда G _i сопряжена с подгруппой G _j , то i ⩽ j . Теперь определите таблицу N × N (квадратную матрицу), чья ( i , j )-я запись равна m ( G _i , G _j ). Эта матрица является нижнетреугольной, а элементы на диагонали ненулевые, поэтому она обратима.

Отсюда следует, что если — G - множество, а u — его вектор-строка меток, так что u _i = m _X ( G _i ), то X разлагается как несвязное объединение a X _i копий орбиты типа G _i , где вектор a удовлетворяет,

а M знак равно ты ,

где M – матрица таблицы оценок. Эта теорема принадлежит ( Burnside 1897 ).

Примеры [ править ]

Таблица оценок для циклической группы 6 порядка:

З ₆	1	З ₂	З ₃	З ₆
З / 6/1	6	.	.	.
З ₆ / З ₂	3	3	.	.
Z6 / Z_Z3	2	0	2	.
З ₆ / З ₆	1	1	1	1

Таблица оценок для симметричной группы S ₃ :

С ₃	1	З ₂	З ₃	С ₃
С ₃ / 1	6	.	.	.
С ₃ / Я ₂	3	1	.	.
С3 / Z_З3	2	0	2	.
С3 / S_С3	1	1	1	1

Все точки в двух таблицах — нули, что лишь подчеркивает тот факт, что таблицы имеют нижне-треугольную форму.

(Некоторые авторы используют транспонирование таблицы, но именно так ее определил Бернсайд изначально.)

Тот факт, что последняя строка состоит из единиц, объясняется тем, что [ G / G ] — это одна точка. Диагональные члены: m ( ЧАС , ЧАС ) знак равно | Н _грамм ( ЧАС )/ ЧАС |. Цифры в первом столбце показывают степень представительства.

Кольцевую структуру Ω ( G ) можно вывести из этих таблиц: образующие кольца (как Z -модуля) являются строками таблицы, а произведение двух образующих имеет метку, заданную произведением меток ( то есть покомпонентное умножение векторов-строк), которые затем можно разложить как линейную комбинацию всех строк. Например, S3 _, с

[G/\mathbf {Z} _{2}]\cdot [G/\mathbf {Z} _{3}]=[G/1],

как (3, 1, 0, 0).(2, 0, 2, 0) = (6, 0, 0, 0).

Представления перестановок [ править ]

С любым конечным множеством X связано векторное пространство V = V _X , которое представляет собой векторное пространство с элементами X в качестве основы (с использованием любого заданного поля). Действие конечной группы G на X индуцирует линейное действие на V перестановок , называемое представлением . Множество всех конечномерных представлений группы G имеет структуру кольца, кольца представлений , обозначаемого R(G) .

Для данного G -множества X характер равен ассоциированного представления

\chi (g)=m_{X}(\langle g\rangle )

где $\langle g\rangle$ циклическая группа, порожденная $g$ .

Полученная карта

\beta :\Omega (G)\longrightarrow R(G)

приведение G -множества к соответствующему представлению, вообще говоря, не является ни инъективным, ни сюръективным.

Самый простой пример, показывающий, что β, вообще говоря, не инъективен, относится к G = S ₃ (см. таблицу выше) и задается формулой

\beta (2[S_{3}/\mathbf {Z} _{2}]+[S_{3}/\mathbf {Z} _{3}])=\beta ([S_{3}]+2[S_{3}/S_{3}]).

Расширения [ править ]

Кольцо Бернсайда для компактных групп описано в ( Tom Dieck 1987 ).

связывает Гипотеза Сигала кольцо Бернсайда с гомотопией .

См. также [ править ]

Категория Бернсайда

Ссылки [ править ]

Бернсайд, Уильям (1897), Теория групп конечного порядка , издательство Кембриджского университета
Том Дик, Таммо (1987), Группы преобразований , Исследования де Грютера по математике, том. 8, Вальтер де Грюйтер, ISBN 978-3-11-009745-0 , МР 0889050 , OCLC 217014538
Платье, Андреас (1969), «Характеристика разрешимых групп», Math. З. , 110 (3): 213–217, doi : 10.1007/BF01110213
Кербер, Адальберт (1999), Прикладные действия конечных групп , Алгоритмы и комбинаторика, том. 19 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65941-9 , МР 1716962 , OCLC 247593131
Соломон, Л. (1967), «Алгебра Бернсайда конечной группы», Дж. Комб. Теория , 1 : 603–615.