Категория Бернсайда

В теории категорий и теории гомотопий категория Бернсайда конечной группы G — это категория, объектами которой являются конечные G -множества , а морфизмами которой являются (классы эквивалентности) промежутки -эквивариантных отображений G . Это категоризация Бернсайда кольца G .

Определения

Пусть G — конечная группа (на самом деле для проконечной группы все будет работать дословно ). Тогда для любых двух конечных G -множеств X и Y мы можем определить отношение эквивалентности между оболочками G -множеств вида $X\leftarrow U\rightarrow Y$ где два пролета $X\leftarrow U\rightarrow Y$ и $X\leftarrow W\rightarrow Y$эквивалентны тогда и только тогда, когда существует G -эквивариантная биекция U и W, коммутирующая с отображениями проекций на X и Y . Этот набор классов эквивалентности естественным образом образует моноид при непересекающемся объединении; мы указываем с помощью $A(G)(X,Y)$ групповое пополнение этого моноида. Откаты создают естественные карты $A(G)(X,Y)\times A(G)(Y,Z)\rightarrow A(G)(X,Z)$.

Наконец, мы можем определить категорию Бернсайда A(G) группы G как категорию, объектами которой являются конечные G -множества, а пространствами морфизмов являются группы $A(G)(X,Y)$.

Свойства

• A ( G ) — аддитивная категория с прямыми суммами, заданными дизъюнктным объединением G -множеств и нулевым объектом, заданным пустым G -множеством;
• Произведение двух G -множеств индуцирует симметричную моноидальную структуру на A ( G );
• Кольцо эндоморфизмов точки (то есть G -множество, состоящее только из одного элемента) является кольцом Бернсайда группы G ;
• A ( G ) эквивалентна полной подкатегории гомотопической категории истинных G -спектров, натянутых надвесными спектрами конечных G -множеств.
• Категория Бернсайда самодвойственна .

Функторы Макки

Если C — аддитивная категория , то C -значный функтор Макки является аддитивным функтором из A(G в C. ) Функторы Макки играют важную роль в теории представлений и стабильной эквивариантной теории гомотопий.

• Каждому G -представлению V мы можем сопоставить функтор Макки в векторных пространствах, переводящий каждое конечное G -множество U в векторное пространство G -эквивариантных отображений из U в V .
• Гомотопические группы истинного G -спектра образуют функтор Макки. Фактически подлинные G -спектры можно рассматривать как аддитивный функтор соответствующей более высокой категориальной версии категории Бернсайда.

Ссылки

• Гийу, Бертран; Мэй, JP (2011). «Модели G-спектров как предпучки спектров». arXiv : 1110.3571 [ math.AT ].
• Барвик, Кларк (2014). «Спектральные функторы Макки и эквивариантная алгебраическая K-теория (I)». arXiv : 1404.0108 [ math.AT ].