Идеал увеличения

В алгебре идеал дополнения — это идеал , который можно определить в любом групповом кольце .

Если G — группа , а R — , коммутативное кольцо существует кольцевой гомоморфизм $\varepsilon$, называемая картой расширения , из группового кольца $R[G]$ к $R$, определяемый взятием (конечного ) сумма $\sum r_{i}g_{i}$ к $\sum r_{i}.$ (Здесь $r_{i}\in R$ и $g_{i}\in G$.) Менее формально, $\varepsilon (g)=1_{R}$ для любого элемента $g\in G$, $\varepsilon (rg)=r$ для любых элементов $r\in R$ и $g\in G$, и $\varepsilon$ продолжается до гомоморфизма R - модулей затем очевидным образом .

Идеал A является ядром увеличения $\varepsilon$ и поэтому является двусторонним идеалом в R [ G ].

A порождается различиями $g-g'$ групповых элементов. Аналогично, он также генерируется $\{g-1:g\in G\}$, который является базисом в виде свободного R -модуля.

Для R и G , как указано выше, групповое кольцо R [ G ] является примером расширенной R -алгебры . Такая алгебра снабжена кольцевым гомоморфизмом R . Ядро этого гомоморфизма является идеалом пополнения алгебры.

Идеал увеличения играет основную роль в групповых когомологиях , среди других приложений.

Примеры частных по идеалу приращения

• Пусть G группа и $\mathbb {Z} [G]$ групповое кольцо над целыми числами. Обозначим увеличения идеал $\mathbb {Z} [G]$. Тогда частное I / I ² изоморфна абелианизации G , определяемой как фактор G по ее коммутанту.
• Комплексное представление V группы G — это $\mathbb {C} [G]$ - модуль. Коинварианты V затем можно описать как частное V по IV , где I — идеал увеличения в $\mathbb {C} [G]$.
• Другим классом примеров идеала дополнения может быть ядро ​​счетчика . $\varepsilon$ любой алгебры Хопфа .

Ссылки

• Д. Л. Джонсон (1990). Презентации групп . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 15. Издательство Кембриджского университета . стр. 149–150. ISBN  0-521-37203-8 .
• Даммит и Фут, Абстрактная алгебра