Теорема о симплициальной аппроксимации

В математике теорема о симплициальной аппроксимации является основополагающим результатом алгебраической топологии , гарантируя, что непрерывные отображения могут быть (путем небольшой деформации) аппроксимированы кусочно -простейшими отображениями. Это применимо к отображениям между пространствами, построенными из симплексов , то есть конечных симплициальных комплексов . Общее непрерывное отображение между такими пространствами может быть приближенно представлено типом отображения, которое является ( аффинно- ) линейным на каждом симплексе в другой симплекс, за счет (i) достаточного барицентрического подразделения симплексов области и (ii ) замена фактического отображения гомотопным .

Эта теорема была впервые доказана Л. Дж. Брауэром с использованием теоремы Лебега о накрытии (результат, основанный на компактности ). ^{[ нужна ссылка ]} Оно послужило тому, чтобы поставить теорию гомологии того времени — первого десятилетия двадцатого века — на строгую основу, поскольку показало, что топологическое воздействие (на группы гомологий ) непрерывных отображений может в данном случае быть выражено финитным способом. . Это следует рассматривать на фоне осознания того, что преемственность в целом совместима с патологией в некоторых других областях. Это положило начало, можно сказать, эпохе комбинаторной топологии .

Существует еще одна теорема о симплициальной аппроксимации гомотопий , утверждающая, что гомотопия между непрерывными отображениями также может быть аппроксимирована комбинаторной версией.

Формальная формулировка теоремы

Позволять $K$ и $L$ быть двумя симплициальными комплексами . Симплициальное отображение $f:K\to L$ называется симплициальным приближением непрерывной функции $F:|K|\to |L|$ если для каждой точки $x\in |K|$ , $|f|(x)$ принадлежит минимальному замкнутому симплексу $L$ содержащий точку $F(x)$ . Если $f$ является симплициальным приближением непрерывного отображения $F$ , то геометрическая реализация $f$ , $|f|$ обязательно гомотопен $F$ . ^{[ нужны разъяснения ]}

Теорема о симплициальной аппроксимации утверждает, что для любого непрерывного отображения $F:|K|\to |L|$ существует натуральное число $n_{0}$ такой, что для всех $n\geq n_{0}$ существует симплициальное приближение $f:\mathrm {Bd} ^{n}K\to L$ к $F$ (где $\mathrm {Bd} \;K$ обозначает барицентрическое подразделение $K$ , и $\mathrm {Bd} ^{n}K$ обозначает результат применения барицентрического подразделения $n$ раз.), другими словами, если $K$ и $L$ являются симплициальными комплексами и $f:|K|\to |L|$ — непрерывная функция, то существует подразделение $K'$ из $K$ и симплициальное отображение $g:K'\to L$ который гомотопен $f$ . Более того, если $\epsilon :|L|\to {\mathbb {R}}$ является положительным непрерывным отображением, то существуют подразделения $K',L'$ из $K,L$ и симплициальное отображение $g:K'\to L'$ такой, что $g$ является $\epsilon$ -гомотопен $f$ ; то есть существует гомотопия $H:|K|\times [0,1]\to |L|$ от $f$ к $g$ такой, что $\mathrm {diam} (H(x\times [0,1]))<\epsilon (f(x))$ для всех $x\in |K|$ . Таким образом, мы можем рассматривать теорему симплициальной аппроксимации как кусочно-линейный аналог аппроксимационной теоремы Уитни .

Ссылки

«Симплициальный комплекс» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]