Категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств

В математике категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств CGWH является одной из обычно используемых категорий в алгебраической топологии в качестве замены категории топологических пространств , поскольку последняя лишена некоторых желательных свойств. Существует также такая категория базовых пространств, определяемая требованием к картам сохранять базовые точки. ^[1]

В статьях компактно порожденное пространство и слабое хаусдорфово пространство определяются соответствующие топологические свойства. Историческую мотивацию этих условий на пространствах см. в разделе Компактно сгенерированное пространство#Мотивация . В данной статье основное внимание уделяется свойствам категории.

Характеристики

CGWH обладает следующими свойствами:

Это полно ^[2] и сополный. ^[3]
Забывчивый функтор множеств сохраняет небольшие пределы. ^[2]
Оно содержит все локально компактные хаусдорфовы пространства. ^[4] и все комплексы ХО . ^[5]
Внутренний Hom существует для любых пар пространств X , Y ; ^[6]^[7] это обозначается $\operatorname {Map} (X,Y)$ или $Y^{X}$ и называется (свободным) пространством отображения из X в Y . Более того, существует гомеоморфизм
$\operatorname {Map} (X\times Y,Z)\simeq \operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))$

это естественно X , Y , Z. в ^[8] Короче говоря, эта категория является декартовой замкнутостью в расширенном смысле.

Конечный продукт комплексов CW является комплексом CW. ^[9]
Если X , Y — базовые пространства, то смешанное произведение существует. их ^[10] (Основное) пространство отображения $\operatorname {Map} (X,Y)$ от X до Y , сохраняющих базовые точки состоит из всех отображений от X до Y , и является замкнутым подпространством пространства отображений между базовыми пространствами без основы. ^[11] Это базовое пространство, базовая точка которого представляет собой уникальную постоянную карту. Для базовых пространств X , Y , Z существует гомеоморфизм
$\operatorname {Map} (X\wedge Y,Z)\simeq \operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))$

это естественно X , Y , Z. в ^[12]

Франкленд, Мартин (4 февраля 2013 г.). «Математика 527 — Гомотопическая теория — Компактно порожденные пространства» (PDF) .
Стинрод, штат Невада (1 мая 1967 г.). «Удобная категория топологических пространств» . Мичиганский математический журнал . 14 (2): 133–152. дои : 10.1307/mmj/1028999711 .
Стрикленд, Нил (2009). «Категория пространств CGWH» (PDF) .
«Приложение». Ячеистые структуры в топологии . 1990. стр. 241–305. дои : 10.1017/CBO9780511983948.007 . ISBN 9780521327848 .