Спектр (топология)

В алгебраической топологии , разделе математики , спектр — это объект, представляющий обобщенную теорию когомологий . Любая такая теория когомологий представима, как это следует из теоремы Брауна о представимости . Это означает, что, учитывая теорию когомологий

${\mathcal {E}}^{*}:{\text{CW}}^{op}\to {\text{Ab}}$ ,

существуют места $E^{k}$ такая, что оценка теории когомологий в степени $k$ на пространстве $X$ эквивалентно вычислению гомотопических классов отображений в пространство $E^{k}$ , то есть

${\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]$ .

Обратите внимание, что существует несколько различных категорий спектров, что приводит к множеству технических трудностей. ^[1] но все они определяют одну и ту же гомотопическую категорию , известную как стабильная гомотопическая категория . Это один из ключевых моментов для введения спектров, поскольку они образуют естественную основу для стабильной теории гомотопий.

Определение спектра

Существует множество вариантов этого определения: вообще говоря, спектр — это любая последовательность $X_{n}$ точечных топологических пространств или точечных симплициальных множеств вместе со структурными отображениями $S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}$ , где $\wedge$ это потрясающий продукт . Продукт удара заостренного пространства $X$ с окружностью гомеоморфна приведенной надстройке $X$ , обозначенный $\Sigma X$ .

Следующее принадлежит Фрэнку Адамсу (1974): спектр (или CW-спектр) — это последовательность $E:=\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ комплексов CW вместе с включениями $\Sigma E_{n}\to E_{n+1}$ о подвеске $\Sigma E_{n}$ как подкомплекс $E_{n+1}$ .

Другие определения см. в симметричном спектре и симплициальном спектре .

Гомотопические группы спектра

Одним из важнейших инвариантов спектра являются гомотопические группы спектра. Эти группы отражают определение стабильных гомотопических групп пространств, поскольку структура отображений надстройки является целостной в ее определении. Учитывая спектр $E$ определить гомотопическую группу $\pi _{n}(E)$ как копредел

${\begin{aligned}\pi _{n}(E)&=\lim _{\to k}\pi _{n+k}(E_{k})\\&=\lim _{\to }\left(\cdots \to \pi _{n+k}(E_{k})\to \pi _{n+k+1}(E_{k+1})\to \cdots \right)\end{aligned}}$

где карты индуцируются из композиции карты $\Sigma :\pi _{n+k}(E_{n})\to \pi _{n+k+1}(\Sigma E_{n})$ (то есть, $[S^{n+k},E_{n}]\to [S^{n+k+1},\Sigma E_{n}]$ задается функториальностью $\Sigma$ ) и структурная карта $\Sigma E_{n}\to E_{n+1}$ . Спектр называется связным, если он $\pi _{k}$ равны нулю для отрицательных k .

Примеры

Спектр Эйленберга – Маклейна

Рассмотрим сингулярные когомологии $H^{n}(X;A)$ с коэффициентами в абелевой группе $A$ . Для комплекса ХО $X$ , группа $H^{n}(X;A)$ можно отождествить с множеством гомотопических классов отображений из $X$ к $K(A,n)$ , пространство Эйленберга–Маклейна с гомотопией, сконцентрированной в степени $n$ . Мы пишем это как

$[X,K(A,n)]=H^{n}(X;A)$

Тогда соответствующий спектр $HA$ имеет $n$ -е пространство $K(A,n)$ ; он называется Эйленберга – Маклейна спектром $A$ . Обратите внимание, что эту конструкцию можно использовать для встраивания любого кольца. $R$ в категорию спектров. Это вложение формирует основу спектральной геометрии, модели производной алгебраической геометрии . Одним из важных свойств этого вложения являются изоморфизмы

${\begin{aligned}\pi _{i}(H(R/I)\wedge _{R}H(R/J))&\cong H_{i}\left(R/I\otimes ^{\mathbf {L} }R/J\right)\\&\cong \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/I,R/J)\end{aligned}}$

показ категории спектров отслеживает производную информацию коммутативных колец, где произведение удара действует как производное тензорное произведение . Более того, спектры Эйленберга-Маклана можно использовать для определения таких теорий, как топологическая гомология Хохшильда для коммутативных колец, более совершенная теория, чем классические гомологии Хохшильда.

Топологическая комплексная К-теория

В качестве второго важного примера рассмотрим топологическую К-теорию . По крайней мере для X Compact, $K^{0}(X)$ определяется как группа Гротендика моноида векторных комплексных расслоений на X . Также, $K^{1}(X)$ — группа, соответствующая векторным расслоениям на надстройке X. Топологическая K-теория является обобщенной теорией когомологий, поэтому она дает спектр. Нулевое пространство $\mathbb {Z} \times BU$ в то время как первое пространство $U$ . Здесь $U$ — бесконечная унитарная группа и $BU$ это его классифицирующее пространство . По периодичности Ботта получаем $K^{2n}(X)\cong K^{0}(X)$ и $K^{2n+1}(X)\cong K^{1}(X)$ для всех n , поэтому все пространства в спектре топологической K-теории задаются либо $\mathbb {Z} \times BU$ или $U$ . Существует соответствующая конструкция, использующая вещественные векторные расслоения вместо комплексных векторных расслоений, что дает 8- периодический спектр .

Сферный спектр

Одним из типичных примеров спектра является сферический спектр. $\mathbb {S}$ . Это спектр, гомотопические группы которого задаются стабильными гомотопическими группами сфер, поэтому

$\pi _{n}(\mathbb {S} )=\pi _{n}^{\mathbb {S} }$

Мы можем явно записать этот спектр как $\mathbb {S} _{i}=S^{i}$ где $\mathbb {S} _{0}=\{0,1\}$ . Обратите внимание, что потрясающий продукт дает структуру продукта в этом спектре.

$S^{n}\wedge S^{m}\simeq S^{n+m}$

индуцирует кольцевую структуру на $\mathbb {S}$ . Более того, если рассматривать категорию симметричных спектров , это образует исходный объект, аналогичный $\mathbb {Z}$ в категории коммутативных колец.

Спектры Тома

Другой канонический пример спектров — спектры Тома, представляющие различные теории кобордизма. Сюда входит реальный кобордизм $MO$ , комплексный кобордизм $MU$ , оснащенный кобордизм, спин-кобордизм $MSpin$ , струнный кобордизм $MString$ , и так далее . Действительно, для любой топологической группы $G$ существует спектр Тома $MG$ .

Спектр подвески

Спектр может быть построен из пространства. Спектр подвески пространства $X$ , обозначенный $\Sigma ^{\infty }X$ это спектр $X_{n}=S^{n}\wedge X$ (карты структур являются тождественными.) Например, спектр подвески 0-сферы - это спектр сферы, обсуждавшийся выше. Гомотопические группы этого спектра тогда являются стабильными гомотопическими группами $X$ , так

$\pi _{n}(\Sigma ^{\infty }X)=\pi _{n}^{\mathbb {S} }(X)$

Конструкция спектра надстройки подразумевает, что каждое пространство можно рассматривать как теорию когомологий. Фактически, он определяет функтор

$\Sigma ^{\infty }:h{\text{CW}}\to h{\text{Spectra}}$

от гомотопической категории комплексов CW к гомотопической категории спектров. Морфизмы задаются формулами

$[\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y]={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}[\Sigma ^{n}X,\Sigma ^{n}Y]$

которая по теореме Фрейденталя о подвеске в конечном итоге стабилизируется. Под этим мы подразумеваем

$\left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N+1}X,\Sigma ^{N+1}Y\right]\simeq \cdots$ и $\left[\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]$

для некоторого конечного целого числа $N$ . Для комплекса ХО $X$ есть обратная конструкция $\Omega ^{\infty }$ который принимает спектр $E$ и образует пространство

$\Omega ^{\infty }E={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}E_{n}$

называется бесконечным пространством петель спектра. Для комплекса ХО $X$

$\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X={\underset {\to }{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X$

и эта конструкция идет с включением $X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X$ для каждого $n$ , следовательно, дает карту

$X\to \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X$

который является инъективным. К сожалению, эти две структуры, с добавлением продукта столкновения, приводят к значительной сложности теории спектров, поскольку не может существовать единая категория спектров, которая удовлетворяет списку из пяти аксиом, связывающих эти структуры. ^[1] Приведенное выше дополнение справедливо только в гомотопических категориях пространств и спектров, но не всегда для конкретной категории спектров (не гомотопической категории).

Ω-спектр

называется Ω-спектром такой спектр, что сопряженный к структурному отображению (т. е. отображению $X_{n}\to \Omega X_{n+1}$ ) является слабой эквивалентностью. Спектр K-теории кольца является примером Ω-спектра.

Кольцевой спектр

Кольцевой спектр — это такой спектр X , что диаграммы, описывающие кольцевые аксиомы в терминах произведений смэша, коммутируют «с точностью до гомотопии» ( $S^{0}\to X$ соответствует тождеству.) Например, спектр топологической К -теории представляет собой кольцевой спектр. Спектр модуля может быть определен аналогично.

Еще больше примеров можно найти в списке теорий когомологий .

Функции, отображения и гомотопии спектров

Существуют три естественные категории, объектами которых являются спектры, а морфизмами — функции, отображения или гомотопические классы, определенные ниже.

Функция E двумя спектрами и F представляет собой последовательность отображений из En _, в Fn _между которые коммутируют с отображает En _Σ → En _{+1 +1} Σ F _n → F _{n и} .

Учитывая спектр $E_{n}$ , подспектр $F_{n}$ представляет собой последовательность подкомплексов, которая также является спектром. Поскольку каждая i -ячейка в $E_{j}$ приостанавливается к ( i + 1)-ячейке в $E_{j+1}$ конфинальный подспектр — это подспектр, для которого каждая ячейка родительского спектра в конечном итоге оказывается в подспектре после конечного числа приостановок. Затем спектры можно преобразовать в категорию, определив карту спектров. $f:E\to F$ быть функцией из конфинального подспектра $G$ из $E$ к $F$ , где две такие функции представляют одно и то же отображение, если они совпадают на некотором конфинальном подспектре. Интуитивно такая карта спектров не обязательно должна быть определена повсюду, она просто должна быть определена в конечном итоге , и две карты, совпадающие в конфинальном подспектре, называются эквивалентными. Это дает категорию спектров (и карт), которая является основным инструментом. В эту категорию естественным образом вписывается категория точечных комплексов CW: требуется $Y$ спектру суспензии , в котором n -й комплекс $\Sigma ^{n}Y$ .

Ударный продукт спектра $E$ и остроконечный комплекс $X$ представляет собой спектр, заданный формулой $(E\wedge X)_{n}=E_{n}\wedge X$ (ассоциативность продукта сразу дает понять, что это действительно спектр). Гомотопия отображений спектров соответствует отображению $(E\wedge I^{+})\to F$ , где $I^{+}$ это непересекающийся союз $[0,1]\sqcup \{*\}$ с $*$ принимается за базовую точку.

Стабильная гомотопическая категория или гомотопическая категория спектров (CW) определяется как категория, объектами которой являются спектры, а морфизмы которых являются гомотопическими классами отображений между спектрами. Многие другие определения спектра, некоторые из которых кажутся очень разными, приводят к эквивалентным стабильным гомотопическим категориям.

Наконец, мы можем определить подвеску спектра формулой $(\Sigma E)_{n}=E_{n+1}$ . Эта приостановка трансляции обратима, поскольку мы также можем ее отменить, установив $(\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}$ .

Триангулированная гомотопическая категория спектров

Категория стабильной гомотопии является аддитивной: карты можно добавлять, используя вариант добавления дорожек, используемый для определения гомотопических групп. Таким образом, гомотопические классы от одного спектра к другому образуют абелеву группу. Кроме того, стабильная гомотопическая категория триангулирована (Фогт (1970)), причем сдвиг задается подвеской, а выделенные треугольники - последовательностями конусов отображения спектров.

X\rightarrow Y\rightarrow Y\cup CX\rightarrow (Y\cup CX)\cup CY\cong \Sigma X

.

Разбить продукты спектров

Смешение спектров расширяет произведение комплексов CW. Это превращает стабильную гомотопическую категорию в моноидальную категорию ; другими словами, он ведет себя как (производное) тензорное произведение абелевых групп. Основная проблема с потрясающим произведением заключается в том, что очевидные способы его определения делают его ассоциативным и коммутативным только с точностью до гомотопии. Некоторые более поздние определения спектров, такие как симметричные спектры , устраняют эту проблему и дают симметричную моноидальную структуру на уровне отображений перед переходом к гомотопическим классам.

Продукт Smash совместим с триангулированной структурой категорий. В частности, произведением выделенного треугольника со спектром является отмеченный треугольник.

Обобщенные гомологии и когомологии спектров

Мы можем определить (стабильные) гомотопические группы спектра как группы, заданные формулой

\displaystyle \pi _{n}E=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E]

,

где $\mathbb {S}$ - спектр сферы и $[X,Y]$ — множество гомотопических классов отображений из $X$ к $Y$ . Определим обобщенную теорию гомологии спектра E формулой

E_{n}X=\pi _{n}(E\wedge X)=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E\wedge X]

и определим его обобщенную теорию когомологий формулой

\displaystyle E^{n}X=[\Sigma ^{-n}X,E].

Здесь $X$ может быть спектром или (используя его подвесной спектр) пространством.

Технические сложности со спектрами

Одна из канонических сложностей при работе со спектрами и определении категории спектров связана с тем, что каждая из этих категорий не может удовлетворять пяти, казалось бы, очевидным аксиомам, касающимся бесконечного пространства петель спектра. $Q$

$Q:{\text{Top}}_{*}\to {\text{Top}}_{*}$

отправка

$QX=\mathop {\text{colim}} _{\to n}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X$

пара сопряженных функторов $\Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }$ , и потрясающий продукт $\wedge$ как в категории пространств, так и в категории спектров. Если мы позволим ${\text{Top}}_{*}$ обозначают категорию базовых компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств и ${\text{Spectra}}_{*}$ обозначают категорию спектров, следующие пять аксиом никогда не могут быть удовлетворены конкретной моделью спектров: ^[1]

${\text{Spectra}}_{*}$ является симметричной моноидальной категорией относительно смешанного произведения $\wedge$
Функтор $\Sigma ^{\infty }$ является левосопряженным к $\Omega ^{\infty }$
Агрегат для измельчения продукта $\wedge$ это спектр сферы $\Sigma ^{\infty }S^{0}=\mathbb {S}$
Либо происходит естественная трансформация $\phi :\left(\Omega ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Omega ^{\infty }E'\right)\to \Omega ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)$ или естественная трансформация $\gamma :\left(\Sigma ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Sigma ^{\infty }E'\right)\to \Sigma ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)$ который коммутирует с единичным объектом в обеих категориях, а также с коммутативными и ассоциативными изоморфизмами в обеих категориях.
Существует естественная слабая эквивалентность $\theta :\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\to QX$ для $X\in \operatorname {Ob} ({\text{Top}}_{*})$ какая то есть коммутационная схема:
${\begin{matrix}X&\xrightarrow {\eta } &\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\\{\mathord {=}}\downarrow &&\downarrow \theta \\X&\xrightarrow {i} &QX\end{matrix}}$
где $\eta$ — это карта юнитов в пристройке.

Из-за этого исследование спектров раздроблено в зависимости от используемой модели. Для общего обзора ознакомьтесь со статьей, указанной выше.

История

Вариант концепции спектра был представлен в докторской диссертации Илона Лагеса Лимы в 1958 году . Его советник Эдвин Спэньер продолжил писать на эту тему в 1959 году. Спектры были приняты Майклом Атьей и Джорджем Уайтхедом в их работе над теориями обобщенной гомологии в начале 1960-х годов. Докторская диссертация Дж. Майкла Бордмана 1964 года дала работоспособное определение категории спектров и отображений (а не только гомотопических классов) между ними, столь же полезных в стабильной теории гомотопий, как и категория комплексов CW в нестабильном случае. (По сути, это категория, описанная выше, и она до сих пор используется для многих целей: другие сведения см. в Adams (1974) или Rainer Vogt (1970).) Однако с 1990 года были сделаны важные дальнейшие теоретические достижения, значительно улучшившие формальную свойства спектров. Следовательно, во многих недавних литературных источниках используются модифицированные определения спектра : см. Michael Mandell et al. (2001) за унифицированное рассмотрение этих новых подходов.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Льюис, Л. Гаунс (30 августа 1991 г.). «Есть ли удобная категория спектров?» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 73 (3): 233–246. дои : 10.1016/0022-4049(91)90030-6 . ISSN 0022-4049 .

Вводный

Адамс, Дж. Франк (1974). Стабильная гомотопия и обобщенная гомология . Издательство Чикагского университета . ISBN 9780226005249 .
Эльмендорф, Энтони Д.; Кржиж, Игорь; Манделл, Майкл А.; Мэй, Дж. Питер (1995), «Современные основы стабильной теории гомотопий» (PDF) , в книге Джеймса, Иоана М. (ред.), Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 213–253, CiteSeerX 10.1.1.55.8006 , номер doi : 10.1016/B978-044481779-2/50007-9 , ISBN 978-0-444-81779-2 , МР 1361891

Современные статьи, развивающие теорию

Манделл, Майкл А.; Мэй, Дж. Питер ; Шведе, Стефан; Шипли, Брук (2001), «Модельные категории спектров диаграмм», Труды Лондонского математического общества , серия 3, 82 (2): 441–512, CiteSeerX 10.1.1.22.3815 , doi : 10.1112/S0024611501012692 , MR 1806878 , S2CID 551246

Исторически значимые статьи

Атья, Майкл Ф. (1961). «Бордизмы и кобордизмы». Труды Кембриджского философского общества . 57 (2): 200–8. дои : 10.1017/s0305004100035064 . S2CID 122937421 .

Лима, Илон Лагес (1959), «Двойственность Спаниера-Уайтхеда в новых гомотопических категориях», Summa Brasil. Математика. , 4 : 91–148, МР 0116332
Лима, Илон Лагес (1960), «Стабильные инварианты Постникова и их двойники», Summa Brasil. Математика. , 4 : 193–251
Фогт, Райнер (1970), Стабильная гомотопическая категория Бордмана , Серия конспектов лекций, No. 21, факультет математики, Орхусский университет, Орхус, MR 0275431
Уайтхед, Джордж В. (1962), «Обобщенные теории гомологии», Труды Американского математического общества , 102 (2): 227–283, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0137117-6

Внешние ссылки

Спектральные последовательности - Аллен Хэтчер - содержит отличное введение в спектры и приложения для построения спектральной последовательности Адамса.
Книжный проект без названия о симметричных спектрах
«Действительно ли спектры — это то же самое, что теории когомологий?» .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с Льюис, Л. Гаунс (30 августа 1991 г.). «Есть ли удобная категория спектров?» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 73 (3): 233–246. дои : 10.1016/0022-4049(91)90030-6 . ISSN 0022-4049 .

[1]