Пространство цикла

В топологии , разделе математики , пространство петель Ω X точечного X топологического пространства — это пространство (основанных) петель в X , то есть непрерывных точечных отображений из остроконечной окружности S. ¹ до X , оснащенного компактно-открытой топологией . Два цикла можно умножить путем конкатенации . Благодаря этой операции пространство петель становится A _∞ -пространством . То есть умножение гомотопически-когерентно ассоциативно .

Множество компонентов базовых пути Ω X , т.е. множество классов базисной гомотопической эквивалентности петель в X , является группой , фундаментальной группой π ₁ ( X ).

Итерированные пространства петель X . формируются путем многократного применения Ω

Аналогичная конструкция существует для топологических пространств без базовой точки. Пространство свободных петель топологического пространства X — это пространство отображений окружности S ¹ в X с компактно-открытой топологией. Пространство свободных петель X часто обозначается как ${\mathcal {L}}X$ .

В качестве функтора конструкция пространства свободных петель правосопряжена с декартовым произведением на окружность, а конструкция пространства петель правосопряжена с приведенной надстройкой . Это дополнение объясняет большую часть важности пространств петель в теории стабильной гомотопии . (Близкое явление в информатике — каррирование , когда декартово произведение сопряжено с функтором hom .) Неофициально это называется дуальностью Экмана-Хилтона .

Двойственность Экмана–Хилтона [ править ]

Пространство петли двойственно подвеске того же пространства; эту двойственность иногда называют двойственностью Экмана – Хилтона . Основное наблюдение состоит в том, что

[\Sigma Z,X]\approxeq [Z,\Omega X]

где $[A,B]$ — множество гомотопических классов отображений $A\rightarrow B$ ,и $\Sigma A$ - это приостановка A, и $\approxeq$ обозначает естественный гомеоморфизм . Этот гомеоморфизм, по сути, представляет собой каррирование по модулю коэффициентов, необходимых для преобразования продуктов в восстановленные продукты.

В общем, $[A,B]$ не имеет групповой структуры для произвольных пространств $A$ и $B$ . Однако можно показать, что $[\Sigma Z,X]$ и $[Z,\Omega X]$ имеют естественную групповую структуру, когда $Z$ и $X$ указаны , и вышеупомянутый изоморфизм принадлежит этим группам. ^[1] Таким образом, постановка $Z=S^{k-1}$ ( $k-1$ сфера) дает отношения

\pi _{k}(X)\approxeq \pi _{k-1}(\Omega X)

.

Это следует из того, что гомотопическая группа определяется как $\pi _{k}(X)=[S^{k},X]$ а сферы можно получить путем приостановки друг друга, т.е. $S^{k}=\Sigma S^{k-1}$ . ^[2]