∞ -операда

В теории операд в алгебре и алгебраической топологии A — _∞ -операда это пространство параметров для отображения умножения, гомотопически когерентно ассоциативного . (Операда, описывающая умножение, которое является одновременно гомотопически когерентно ассоциативным и гомотопически когерентно коммутативным, называется E _∞ -операдой .)

Определение

В (обычной) ситуации операд с действием симметрической группы на топологических пространствах операда A называется A _∞ -операдой, если все ее пространства A ( n ) Σ _n - эквивариантно гомотопически эквивалентны дискретному пространства Σ _n ( симметрическая группа ) с ее действием умножения (где n ∈ N ). В случае операд, отличных от Σ (также называемых несимметричными операдами, операдами без перестановок), операда A является A _∞, если все ее пространства A ( n ) сжимаемы. В других категориях , кроме топологических пространств, понятия гомотопии и сжимаемости должны быть заменены подходящими аналогами, такими как гомологические эквиваленты в категории цепных комплексов .

n -операды

Буква А в терминологии означает «ассоциативный», а символы бесконечности говорят, что ассоциативность требуется до «всех» высших гомотопий. более общем смысле, существует более слабое понятие An _n -операды ( В ∈ N ), параметризующее умножения, которые являются ассоциативными только до определенного уровня гомотопий. В частности,

A ₁ -пространства — это точечные пространства ;
A ₂ -пространства — это H-пространства без условий ассоциативности; и
A ₃ -пространства являются гомотопически ассоциативными H-пространствами.

A _∞ -операды и однопетлевые пространства

Пространство X является пространством петель некоторого другого пространства, обозначаемого BX , тогда и только тогда, когда X является алгеброй над $A_{\infty }$ -операда и моноид π ₀ ( X ) ее компонент связности является группой. Алгебра над $A_{\infty }$ -операда называется $\mathbf {A} _{\infty }$ -космос . Есть три следствия такой характеристики пространств петель. Во-первых, пространство цикла представляет собой $A_{\infty }$ -космос. Во-вторых, связанный $A_{\infty }$ -space X — это пространство цикла. В-третьих, групповое завершение возможно несвязного $A_{\infty }$ -space — это пространство цикла.

Важность $A_{\infty }$ -операды в гомотопической теории вытекают из этих отношений между алгебрами над $A_{\infty }$ -операды и пространства циклов.

A _∞ -алгебры

Алгебра над $A_{\infty }$ -операда называется $A_{\infty }$ -алгебра. Примеры включают категорию Фукая симплектического многообразия, когда она может быть определена (см. также псевдоголоморфную кривую ).

Примеры

Самый очевидный, хотя и не особенно полезный пример $A_{\infty }$ -operad — это ассоциативная операда заданная , $a(n)=\Sigma _{n}$ . Эта операда описывает строго ассоциативные умножения. По определению любой другой $A_{\infty }$ -операда имеет отображение в а , которое является гомотопической эквивалентностью.

Геометрическим примером A _∞ -операды являются многогранники Сташефа или ассоциэдры .

Менее комбинаторный пример — операда малых интервалов : Пространство $A(n)$ состоит из всех вложений n непересекающихся интервалов в единичный интервал.

См. также

Ссылки

Сташефф, Джим (июнь – июль 2004 г.). «Что такое... операда?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 51 (6): 630–631 . Проверено 17 января 2008 г.
Дж. Питер Мэй (1972). Геометрия итерированных пространств циклов . Спрингер-Верлаг. Архивировано из оригинала 7 июля 2015 г. Проверено 19 февраля 2008 г.
Мартин Маркл; Стив Шнайдер ; Джим Сташефф (2002). Операды в алгебре, топологии и физике . Американское математическое общество.
Сташефф, Джеймс (1963). «Гомотопическая ассоциативность H -пространств. I, II». Труды Американского математического общества . 108 (2): 275–292, 293–312. дои : 10.2307/1993608 . JSTOR 1993608 .