Группа Гротендика

В математике группа Гротендика , или группа разностей , коммутативного моноида M является некоторой абелевой группой . Эта абелева группа строится из M наиболее универсальным образом в том смысле, что любая абелева группа, содержащая гомоморфный образ M , будет также содержать гомоморфный образ группы Гротендика M . Конструкция группы Гротендика получила свое название от конкретного случая в теории категорий , введенного Александром Гротендиком в его доказательстве теоремы Гротендика-Римана-Роха , которое привело к развитию K-теории . Этот частный случай представляет собой моноид объектов классов изоморфизма абелевой в качестве его категории с прямой суммой операции.

коммутативного

Мотивация

Для данного коммутативного моноида M «наиболее общая» абелева группа K , возникающая из M, должна быть построена путем введения обратных элементов ко всем элементам M . Такая абелева группа K всегда существует; она называется группой Гротендика группы M . Оно характеризуется некоторым универсальным свойством может быть также конкретно построено из М. и

Если M не обладает отмены то есть такие M существуют в , ( свойством что $a\neq b$ и $ac=bc$), то группа Гротендика K не может содержать M . В частности, в случае моноидной операции, обозначенной мультипликативно, которая имеет нулевой элемент, удовлетворяющий $0.x=0$ для каждого $x\in M,$ группа Гротендика должна быть тривиальной группой ( группой только с одним элементом), поскольку необходимо иметь

$x=1.x=(0^{-1}.0).x=0^{-1}.(0.x)=0^{-1}.(0.0)=(0^{-1}.0).0=1.0=0$

для каждого х .

Универсальная собственность

Пусть M — коммутативный моноид. Ее группа Гротендика представляет собой абелеву группу K с моноидным гомоморфизмом. $i\colon M\to K$ удовлетворяющее следующему универсальному свойству: для любого моноидного гомоморфизма $f\colon M\to A$ из M в абелеву группу A существует единственный групповой гомоморфизм $g\colon K\to A$ такой, что $f=g\circ i.$

Это выражает тот факт, что любая абелева группа A , содержащая гомоморфный образ M, также содержать гомоморфный образ K , причем K — «наиболее общая» абелева группа, содержащая гомоморфный образ M. будет

Явные конструкции

Смотрите также: K-теория § Пополнение Гротендика

Чтобы построить группу Гротендика K коммутативного моноида M , формируется декартово произведение $M\times M$. Две координаты предназначены для обозначения положительной и отрицательной частей, поэтому $(m_{1},m_{2})$ соответствует $m_{1}-m_{2}$ чернила ​ .

Дополнение к $M\times M$ определяется по координатам:

$(m_{1},m_{2})+(n_{1},n_{2})=(m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2})$.

Далее определяется отношение эквивалентности на $M\times M$, такой, что $(m_{1},m_{2})$ эквивалентно $(n_{1},n_{2})$ если для некоторого элемента k из M m закон ₁ + n ₂ + k = m ₂ + n ₁ + k (элемент k необходим, поскольку сокращения выполняется не во всех моноидах). Класс эквивалентности элемента ( m ₁ , m ₂ ) обозначается через [( m ₁ , m ₂ )]. Определим K как множество классов эквивалентности. Поскольку операция сложения на M × M совместима с нашим отношением эквивалентности, получается сложение на K , и K становится абелевой группой. Единичным элементом K является [(0, 0)], а обратным элементу [( m ₁ , m ₂ )] является [( m ₂ , m ₁ )]. Гомоморфизм $i:M\to K$ отправляет элемент m в [( m , 0)].

Альтернативно, группа Гротендика K группы M также может быть построена с использованием генераторов и отношений : обозначая $(Z(M),+')$ свободная абелева группа, порожденная множеством M , группа K является фактором Гротендика $Z(M)$ подгруппой , созданной ​ $\{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}$. (Здесь +′ и −′ обозначают сложение и вычитание в свободной абелевой группе $Z(M)$ а + обозначает сложение в моноиде М. ) Эта конструкция имеет то преимущество, что ее можно выполнить для любой полугруппы М и дает группу, которая удовлетворяет соответствующим универсальным свойствам для полугрупп, т. е. «наиболее общую и наименьшую группу, содержащую гомоморфный образ из М ". Это известно как «групповое пополнение полугруппы» или «группа дробей полугруппы».

Свойства

На языке теории категорий любая универсальная конструкция порождает функтор ; таким образом, получается функтор из категории коммутативных моноидов в категорию абелевых групп , который переводит коммутативный моноид M в его группу Гротендика K . Этот функтор слева сопряжен с функтором забвения из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Для коммутативного моноида M отображение i : M → K инъективно M тогда и только тогда, когда обладает свойством сокращения, и биективно тогда и только тогда, когда M уже является группой.

Пример: целые числа

Самый простой пример группы Гротендика — построение целых чисел $\mathbb {Z}$ из (аддитивных) натуральных чисел $\mathbb {N}$.Прежде всего заметим, что натуральные числа (включая 0) вместе с обычным сложением действительно образуют коммутативный моноид. $(\mathbb {N} ,+).$ Теперь, когда кто-то использует конструкцию группы Гротендика, он получает формальные различия между натуральными числами как элементами n - m и имеет отношение эквивалентности

$n-m\sim n'-m'\iff n+m'+k=n'+m+k$ для некоторых $k\iff n+m'=n'+m$.

Теперь определите

$\forall n\in \mathbb {N} :\qquad {\begin{cases}n:=[n-0]\\-n:=[0-n]\end{cases}}$

Это определяет целые числа $\mathbb {Z}$. Действительно, это обычная конструкция для получения целых чисел из натуральных чисел. См. «Строительство» в разделе «Целые числа» для более подробного объяснения.

Пример: положительные рациональные числа

Аналогично, группа Гротендика мультипликативного коммутативного моноида $(\mathbb {N} ^{*},\times )$ (начиная с 1) состоит из формальных дробей $p/q$ с эквивалентностью

$p/q\sim p'/q'\iff pq'r=p'qr$ для некоторых $r\iff pq'=p'q$

которые, конечно, можно отождествить с положительными рациональными числами .

Пример: группа Гротендика многообразия

Группа Гротендика является фундаментальной конструкцией К-теории . Группа $K_{0}(M)$ многообразия компактного с операцией моноида , M определяется как группа Гротендика коммутативного моноида всех классов изоморфизма векторных расслоений конечного ранга на M заданной прямой суммой. Это дает контравариантный функтор от многообразий к абелевым группам. Этот функтор изучается и расширяется в топологической К-теории .

Пример: группа кольца Гротендика

Нулевая алгебраическая K-группа $K_{0}(R)$ (не обязательно коммутативного ) кольца R является группой Гротендика моноида, состоящего из классов изоморфизма конечно порожденных проективных модулей над R , с операцией моноида, заданной прямой суммой . Затем $K_{0}$ является ковариантным функтором колец в абелевы группы.

Два предыдущих примера связаны: рассмотрим случай, когда $R=C^{\infty }(M)$ кольцо комплекснозначных на гладких функций компактном многообразии M. — В этом случае проективные R -модули двойственны векторным расслоениям над M (по теореме Серра–Свона ). Таким образом $K_{0}(R)$ и $K_{0}(M)$ это одна и та же группа.

Группа

Определение

Другая конструкция, носящая название группы Гротендика , следующая: пусть R — конечномерная алгебра над некоторым полем k или, в более общем смысле, артиновым кольцом . Затем определим группу Гротендика $G_{0}(R)$ как абелева группа, порожденная множеством $\{[X]\mid X\in R{\text{-mod}}\}$ классов изоморфизма конечно порожденных R -модулей и следующие соотношения: для каждой короткой точной последовательности

$0\to A\to B\to C\to 0$

-модулей R добавим соотношение

$[A]-[B]+[C]=0.$

что для любых двух конечно порожденных R -модулей M и N Из этого определения следует , $[M\oplus N]=[M]+[N]$, из-за расщепления короткой точной последовательности

$0\to M\to M\oplus N\to N\to 0.$

Примеры

Пусть K — поле. Тогда группа Гротендика $G_{0}(K)$ — абелева группа, порожденная символами $[V]$ для любого конечномерного K - векторного пространства V . Фактически, $G_{0}(K)$ изоморфен ​ ​ $\mathbb {Z}$ чьим генератором является элемент $[K]$. Здесь символ $[V]$ для конечномерного K -векторного пространства V определяется как $[V]=\dim _{K}V$, размерность векторного пространства V . Предположим, что имеется следующая короткая точная последовательность K -векторных пространств.

$0\to V\to T\to W\to 0$

Поскольку любая короткая точная последовательность векторных пространств расщепляется, справедливо соотношение $T\cong V\oplus W$. Фактически, для любых двух конечномерных векторных пространств V и W справедливо следующее:

$\dim _{K}(V\oplus W)=\dim _{K}(V)+\dim _{K}(W)$

Следовательно, полученное выше равенство удовлетворяет условию символа $[V]$ в группе Гротендика.

$[T]=[V\oplus W]=[V]+[W]$

Заметим, что любые два изоморфных конечномерных K- векторных пространства имеют одинаковую размерность. Кроме того, любые два конечномерных K -векторных пространства V и W одной размерности изоморфны друг другу. Фактически, каждое конечное n -мерное K -векторное пространство V изоморфно $K^{\oplus n}$. Таким образом, наблюдение из предыдущего абзаца доказывает следующее уравнение:

$[V]=\left[K^{\oplus n}\right]=n[K]$

Следовательно, каждый символ $[V]$ генерируется элементом $[K]$ с целыми коэффициентами, откуда следует, что $G_{0}(K)$ изоморфен $\mathbb {Z}$ с генератором $[K]$.

В более общем смысле, пусть $\mathbb {Z}$ быть набором целых чисел. Группа Гротендика $G_{0}(\mathbb {Z} )$ — абелева группа, порожденная символами $[A]$ для любых конечно порожденных абелевых групп A . Прежде всего отметим, что любая конечная абелева группа G удовлетворяет условию $[G]=0$. Имеет место следующая короткая точная последовательность, где отображение $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ это умножение на n .

$0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to 0$

Точная последовательность подразумевает, что $[\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ]=[\mathbb {Z} ]-[\mathbb {Z} ]=0$, поэтому каждая циклическая группа имеет свой символ, равный 0. Это, в свою очередь, означает, что каждая конечная абелева группа G удовлетворяет условию $[G]=0$ по основной теореме о конечных абелевых группах.

Заметим, что по фундаментальной теореме о конечно порожденных абелевых группах каждая абелева группа A изоморфна прямой сумме периодической подгруппы и абелевой группы без кручения, изоморфной $\mathbb {Z} ^{r}$ неотрицательного целого числа r , называемого рангом A для некоторого и обозначаемого $r={\mbox{rank}}(A)$ . Определите символ $[A]$ как $[A]={\mbox{rank}}(A)$. Тогда группа Гротендика $G_{0}(\mathbb {Z} )$ изоморфен $\mathbb {Z}$ с генератором $[\mathbb {Z} ].$ Действительно, наблюдение, сделанное в предыдущем абзаце, показывает, что каждая абелева группа A имеет свой символ $[A]$ то же самое с символом $[\mathbb {Z} ^{r}]=r[\mathbb {Z} ]$ где $r={\mbox{rank}}(A)$. При этом ранг абелевой группы удовлетворяет условиям символа $[A]$ группы Гротендика. Предположим, что имеется следующая короткая точная последовательность абелевых групп:

$0\to A\to B\to C\to 0$

Тогда тензоризация с рациональными числами $\mathbb {Q}$ следует следующее уравнение.

$0\to A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to 0$

Поскольку приведенное выше представляет собой короткую точную последовательность $\mathbb {Q}$-векторных пространствах, последовательность расщепляется. Таким образом, имеем следующее уравнение.

$\dim _{\mathbb {Q} }(B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )+\dim _{\mathbb {Q} }(C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )$

С другой стороны, также имеет место следующее соотношение; для получения дополнительной информации см. Ранг абелевой группы .

$\operatorname {rank} (A)=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )$

Следовательно, имеет место следующее уравнение:

$[B]=\operatorname {rank} (B)=\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (C)=[A]+[C]$

Следовательно, было показано, что $G_{0}(\mathbb {Z} )$ изоморфен $\mathbb {Z}$ с генератором $[\mathbb {Z} ].$

Универсальная собственность

Группа Гротендика обладает универсальным свойством. Дается предварительное определение: функция $\chi$ из множества классов изоморфизма в абелеву группу $X$ называется аддитивным , если для каждой точной последовательности $0\to A\to B\to C\to 0$, у одного есть $\chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0.$ Тогда для любой аддитивной функции $\chi :R{\text{-mod}}\to X$, существует единственный групповой гомоморфизм $f:G_{0}(R)\to X$ такой, что $\chi$ факторы через $f$ и карта, которая принимает каждый объект ${\mathcal {A}}$ к элементу, представляющему его класс изоморфизма в $G_{0}(R).$ Конкретно это означает, что $f$ удовлетворяет уравнению $f([V])=\chi (V)$ для каждого конечно порожденного $R$-модуль $V$ и $f$ — единственный групповой гомоморфизм, который делает это.

Примерами аддитивных функций являются функции характера из теории представлений : Если $R$ является конечномерным $k$-алгебра, то можно сопоставить характер $\chi _{V}:R\to k$ каждому конечномерному $R$-модуль $V:\chi _{V}(x)$ определяется след как $k$- линейная карта , получаемая умножением на элемент $x\in R$ на $V$.

Выбрав подходящий базис и записав соответствующие матрицы в блочно-треугольной форме, легко увидеть, что характер-функции аддитивны в указанном выше смысле. Благодаря универсальному свойству это дает нам «универсальный характер». $\chi :G_{0}(R)\to \mathrm {Hom} _{K}(R,K)$ такой, что $\chi ([V])=\chi _{V}$.

Если $k=\mathbb {C}$ и $R$ это групповое кольцо $\mathbb {C} [G]$ конечной группы $G$ то это отображение характеров даже дает естественный изоморфизм $G_{0}(\mathbb {C} [G])$ и кольцо с персонажем $Ch(G)$. В модулярной теории представлений конечных групп $k$ может быть поле ${\overline {\mathbb {F} _{p}}},$ алгебраическое замыкание конечного поля с p элементами. В этом случае аналогично определенное отображение, которое соответствует каждому $k[G]$-модуля, его характер Брауэра также является естественным изоморфизмом $G_{0}({\overline {\mathbb {F} _{p}}}[G])\to \mathrm {BCh} (G)$ на ринг персонажей Брауэра. Таким образом группы Гротендика появляются в теории представлений.

Это универсальное свойство также делает $G_{0}(R)$ «универсальный приемник» обобщенных эйлеровых характеристик . В частности, для любого ограниченного комплекса объектов в $R{\text{-mod}}$

$\cdots \to 0\to 0\to A^{n}\to A^{n+1}\to \cdots \to A^{m-1}\to A^{m}\to 0\to 0\to \cdots$

есть канонический элемент

$[A^{*}]=\sum _{i}(-1)^{i}[A^{i}]=\sum _{i}(-1)^{i}[H^{i}(A^{*})]\in G_{0}(R).$

Фактически группа Гротендика была первоначально введена для изучения эйлеровых характеристик.

Группы

Общее обобщение этих двух понятий даёт группа Гротендика точной категории. ${\mathcal {A}}$. говоря, точная категория — это аддитивная категория вместе с классом выделенных коротких последовательностей A → B → C. Проще Выделенные последовательности называются «точными последовательностями», отсюда и название. Точные аксиомы этого выдающегося класса не имеют значения для построения группы Гротендика.

Группа Гротендика определяется так же, как и раньше, как абелева группа с одним генератором [ M ] для каждого (класса изоморфизма) объекта(ов) категории ${\mathcal {A}}$ и одно отношение

$[A]-[B]+[C]=0$

для каждой точной последовательности

$A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C$.

В качестве альтернативы и эквивалентно можно определить группу Гротендика, используя универсальное свойство: отображение $\chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X$ от ${\mathcal {A}}$ в абелеву группу X называется «аддитивной», если для каждой точной последовательности $A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C$ у одного есть $\chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0$; абелева группа G вместе с аддитивным отображением $\phi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to G$ называется группой Гротендика ${\mathcal {A}}$ тогда и только тогда, когда каждое аддитивное отображение $\chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X$ факторы исключительно за счет $\phi$.

Каждая абелева категория является точной категорией, если использовать стандартную интерпретацию слова «точный». Это дает понятие группы Гротендика из предыдущего раздела, если выбрать ${\mathcal {A}}:=R{\text{-mod}}$ категорию конечно порожденных R -модулей как ${\mathcal {A}}$. Это на самом деле абелевское уравнение, поскольку R предполагалось, что артиново (и, следовательно, нётерово в предыдущем разделе ).

С другой стороны, каждая аддитивная категория также точна, если объявить точными те и только те последовательности, которые имеют вид $A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B$ с каноническими морфизмами включения и проекции. Эта процедура дает группу Гротендика коммутативного моноида. $(\mathrm {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )$ в первом смысле (здесь $\mathrm {Iso} ({\mathcal {A}})$ означает «набор» [игнорируя все фундаментальные вопросы] классов изоморфизма в ${\mathcal {A}}$.)

категорий

Обобщая еще дальше, можно также определить группу Гротендика для триангулированных категорий . Конструкция по существу аналогична, но использует отношения [ X ] − [ Y ] + [ Z ] = 0 всякий раз, когда существует отмеченный треугольник X → Y → Z → X [1].

Дальнейшие примеры

• В абелевой категории конечномерных векторных пространств над полем k два векторных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Таким образом, для векторного пространства V

$[V]={\big [}k^{\dim(V)}{\big ]}\in K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} }).$

Более того, для точной последовательности

$0\to k^{l}\to k^{m}\to k^{n}\to 0$

m = l + n , поэтому

$\left[k^{l+n}\right]=\left[k^{l}\right]+\left[k^{n}\right]=(l+n)[k].$

Таким образом

$[V]=\dim(V)[k],$

и $K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} })$ изоморфен $\mathbb {Z}$ и генерируется $[k].$ Наконец, для ограниченного комплекса конечномерных векторных пространств V *

$[V^{*}]=\chi (V^{*})[k]$

где $\chi$ — стандартная характеристика Эйлера, определяемая формулой

$\chi (V^{*})=\sum _{i}(-1)^{i}\dim V=\sum _{i}(-1)^{i}\dim H^{i}(V^{*}).$

• Для окольцованного пространства $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, можно рассмотреть категорию ${\mathcal {A}}$ всех свободных пучков над X. локально $K_{0}(X)$ затем определяется как группа Гротендика этой точной категории, и это снова дает функтор.

• Для окольцованного пространства $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, можно также определить категорию ${\mathcal {A}}$ быть категорией всех когерентных пучков на X . Сюда входит особый случай (если кольцевое пространство является аффинной схемой ) ${\mathcal {A}}$ являющаяся категорией конечно порожденных модулей над нётеровым кольцом R . В обоих случаях ${\mathcal {A}}$ является абелевой категорией и тем более точной категорией, поэтому применима приведенная выше конструкция.

• В случае, когда R — конечномерная алгебра над некоторым полем, группы Гротендика $G_{0}(R)$ (определяется через короткие точные последовательности конечно порожденных модулей) и $K_{0}(R)$ (определяемые через прямую сумму конечно порожденных проективных модулей) совпадают. Фактически обе группы изоморфны свободной абелевой группе, порожденной классами изоморфизма простых R -модулей.

• Есть еще одна группа Гротендика. $G_{0}$ кольца или окруженного пространства, что иногда бывает полезно. В качестве категории в данном случае выбрана категория всех квазикогерентных пучков на кольцевом пространстве, которая сводится к категории всех модулей над некоторым кольцом R в случае аффинных схем. $G_{0}$ является не функтором, но тем не менее несет важную информацию.

• Поскольку (ограниченная) производная категория триангулирована, для производных категорий также существует группа Гротендика. Это имеет применение, например, в теории представлений. Однако для неограниченной категории группа Гротендика исчезает. Для производной категории некоторой комплексной конечномерной положительно градуированной алгебры существует подкатегория в неограниченной производной категории, содержащая абелеву категорию A конечномерных градуированных модулей, группа Гротендика которой является q -адическим пополнением группы Гротендика A .

См. также

• Поле дробей
• Локализация
• Топологическая К-теория
• Спектральная последовательность Атьи–Хирцебруха для вычисления топологической K-теории

Ссылки

• Майкл Ф. Атья , K-Теория (Примечания Д.В.Андерсона, осень 1964 г.), опубликовано в 1967 г., WA Benjamin Inc., Нью-Йорк.
• Ачар, Прамод Н.; Строппель, Катарина (2013), «Пополнения групп Гротендика», Бюллетень Лондонского математического общества , 45 (1): 200–212, arXiv : 1105.2715 , doi : 10.1112/blms/bds079 , MR   3033967 , S2CID   260493607 .
• «Группа Гротендика» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Группа Гротендика» . ПланетаМатематика .
• Группа Гротендика алгебраических векторных расслоений; Расчеты аффинного и проективного пространства
• Группа Гротендика гладкой проективной комплексной кривой