Модульная теория представлений

Модульная теория представлений — раздел математики и часть теории представлений , которая изучает линейные представления конечных групп над полем K положительной характеристики p , обязательно простого числа . Помимо применения к теории групп , модульные представления естественным образом возникают в других разделах математики, таких как алгебраическая геометрия , теория кодирования. , комбинаторика и теория чисел .

В рамках теории конечных групп результаты теории характеров , доказанные Рихардом Брауэром с использованием модульной теории представлений, сыграли важную роль в раннем прогрессе в классификации конечных простых групп , особенно для простых групп, не поддавались чисто групповым методам. характеристика которых не поддавалась чисто теоретико-групповым методам, поскольку их силовские методы 2-подгруппы были слишком малы в соответствующем смысле. Кроме того, в программе классификации особенно полезен был общий результат о вложении элементов порядка 2 в конечные группы, называемый теоремой Z* , доказанный Джорджем Глауберманом с использованием теории, развитой Брауэром.

Если характеристика p поля K не делит порядок | G |, то модулярные представления вполне приводимы, как и обычные (характеристика 0) представления, в силу теоремы Машке . В другом случае, когда | г | ≡ 0 mod p , процесс усреднения по группе, необходимый для доказательства теоремы Машке, не работает, и представления не обязательно должны быть полностью приводимыми. Большая часть приведенного ниже обсуждения неявно предполагает, что поле K достаточно велико (например, достаточно K алгебраически замкнутого ), в противном случае некоторые утверждения требуют уточнения.

История

Самая ранняя работа по теории представлений над конечными полями принадлежит Диксону (1902) , который показал, что, когда p не делит порядок группы, теория представлений аналогична теории представлений в характеристике 0. Он также исследовал модулярные инварианты некоторых конечных групп. Систематическое изучение модулярных представлений, когда характеристика р делит порядок группы, было начато Брауэром (1935) и продолжалось им в течение следующих нескольких десятилетий.

Пример

Нахождение представления циклической группы двух элементов над F ₂ эквивалентно проблеме нахождения матриц, квадрат которых является единичной матрицей . Для каждого поля характеристики, отличной от 2, всегда существует такой базис , что матрица может быть записана как диагональная матрица, в которой на диагонали встречается только 1 или -1, например:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.$

Над F ₂ существует множество других возможных матриц, например

${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.$

Над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики теория представлений конечной циклической группы полностью объясняется теорией жордановой нормальной формы . Недиагональные жордановые формы возникают, когда характеристика делит порядок группы.

Интерпретация теории колец

Учитывая поле K и конечную группу G , групповая алгебра K [ G ] (которая представляет собой K - векторное пространство с K -базисом, состоящим из элементов G , наделенным алгебраическим умножением путем расширения умножения G по линейности) есть Артиново кольцо .

Когда порядок G делится на характеристику K , групповая алгебра не является полупростой и, следовательно, имеет ненулевой радикал Джекобсона . В этом случае существуют конечномерные модули групповой алгебры, которые не являются проективными модулями . Напротив, в случае характеристики 0 каждое неприводимое представление является прямым слагаемым регулярного представления и, следовательно, является проективным.

Персонажи Брауэра

Теория модульных представлений была разработана Рихардом Брауэром примерно с 1940 года для более глубокого изучения отношений между теория характеристических p- представлений, теория обычных характеров и структура группы G , особенно когда последняя связана с вложением и отношениями между ее p -подгруппами. Такие результаты могут быть применены в теории групп к проблемам, не сформулированным напрямую в терминах представлений.

Брауэр ввел понятие, ныне известное как характер Брауэра . Когда K алгебраически замкнут с положительной характеристикой p , существует биекция между корнями из единицы в K и комплексными корнями из единицы порядка, взаимно простого с p . Как только выбор такой биекции зафиксирован, характер Брауэра представления присваивает каждому элементу группы порядка, взаимно простого с p, сумму комплексных корней из единицы, соответствующих собственным значениям (включая кратности) этого элемента в данном представлении.

Брауэровский характер представления определяет его состав.факторы, а не, вообще говоря, тип его эквивалентности. НеприводимыйСимволы Брауэра — это те, которые предоставляются простыми модулями.Это целые (хотя и не обязательно неотрицательные) комбинации.ограничений на элементы порядка, взаимно простого с p обычного неприводимогоперсонажи. И наоборот, ограничение на элементы порядка, взаимно простого с p изкаждый обычный неприводимый характер однозначно выражается как неотрицательныйцелочисленная комбинация неприводимых характеров Брауэра.

Сокращение (по модулю p )

В теории, первоначально разработанной Брауэром, связь между обычной теорией представлений и модульной теорией представлений лучше всего иллюстрируется рассмотрением групповая алгебра группы G над полным кольцом дискретного нормирования R с полем вычетов K положительныххарактеристика p и поле фракций F характеристики0, например, p -адические целые числа . Структура R [ G ] тесно связана как сструктуре групповой алгебры K [ G ] и структуре полупростой групповой алгебры F [ G ], и существует много взаимодействий.между теорией модулей трех алгебр.

Каждый R [ G ]-модуль естественным образом порождает F [ G ]-модуль,и с помощью процесса, часто неофициально известного как редукция (mod p ) ,к K [ G ]-модулю. С другой стороны, поскольку R является область главных идеалов , каждый конечномерный F [ G ]-модульвозникает при расширении скаляров из R [ G ]-модуля. В общем,однако не все K [ G ]-модули возникают как редукции (mod p ) R [ G ]-модули. Те, что есть, можно поднять .

Количество простых модулей

представлений число простых модулей k ( G равно числу классов сопряженности G. В обычной теории ) В модульном случае число l ( G ) простых модулей равно числу классов сопряженности, элементы которых имеют порядок, взаимно простой с соответствующим простым числом p , так называемых p -регулярных классов.

Блоки и структура групповой алгебры

В модульной теории представлений теорема Машке не выполняется.когда характеристика делит порядок группы, групповая алгебра может быть разложена как прямая сумма максимального набора двусторонних идеалов, известных как блоки . Когда поле F имеет характеристику 0 или характеристику, взаимно простую с порядком группы, все еще существует такое разложение групповой алгебры F [ G ] в виде суммы блоков (по одному для каждого типа изоморфизма простого модуля), но ситуация такова: относительно прозрачен, когда F достаточно велико: каждый блок представляет собой полную матричную алгебру над F , кольцом эндоморфизмов векторного пространства, лежащего в основе соответствующего простого модуля.

Для получения блоков единичный элемент группы G разлагается в сумму примитивных идемпотентов в Z ( R [G]), центр групповой алгебры над максимальным порядком R группы F . Блок, соответствующий примитивному идемпотенту e — двусторонний идеал eR ] [ G . Для каждого неразложимого R [ G ]-модуля существует только один такой примитивный идемпотент, который не аннулирует его, и говорят, что модуль принадлежит (или находится в) соответствующему блоку (в этом случае все его композиционные факторы также принадлежат этому блоку). В частности, каждый простой модуль принадлежит уникальному блоку. Каждый обычный неприводимый характер также может быть отнесен к уникальному блоку в соответствии с его разложением в сумму неприводимых характеров Брауэра. Блок, содержащий тривиальный модуль, называется основным блоком .

Проекционные модули

В обычной теории представлений каждый неразложимый модуль неприводим, поэтому каждый модуль проективен. Однако простые модули с характеристикой, разделяющей групповой порядок, редко бывают проективными. Действительно, если простой модуль проективен, то это единственный простой модуль в своем блоке, который затем изоморфен алгебре эндоморфизмов основного векторного пространства, полной матричной алгебры. В этом случае говорят, что блок имеет «дефект 0». Как правило, структуру проективных модулей определить сложно.

Для групповой алгебры конечной группы (типы изоморфизма) проективных неразложимых модулей находятся во взаимно однозначном соответствии с (типами изоморфизма) простых модулей: цоколь каждого проективного неразложимого модуля прост (и изоморфен top), и это обеспечивает биекцию, поскольку неизоморфные проективные неразложимые объекты имеютнеизоморфные цоколи. Кратность проективного неразложимого модуля как слагаемого групповой алгебры (рассматриваемого как регулярный модуль) — это размерность его цоколя (для достаточно больших полей нулевой характеристики это восстанавливает тот факт, что каждый простой модуль встречается с кратностью, равной его размерность как прямое слагаемое регулярного модуля).

Каждый проективный неразложимый модуль (и, следовательно, каждый проективный модуль) в положительной характеристике p может быть поднят до модуля в характеристике 0. Используя кольцо R, как указано выше, с полем вычетов K , единичный элемент G можно разложить как сумму взаимно ортогональные примитивные идемпотенты (не обязательноцентральный) из K [ G ]. Каждый проективный неразложимый K [ G ]-модуль изоморфен e . K [ G ] для примитивного идемпотента e , который встречается в этом разложении. Идемпотент e поднимается до примитивного идемпотента, скажем E , группы R [ G ] и левого E. модуля R [ G ] имеет редукцию (mod p ), изоморфную e . КГ ​ ] .

Некоторые соотношения ортогональности для характеров Брауэра

При поднятии проективного модуля ассоциированный характер исчезает на всех элементах порядка, делящегося на p , и (при последовательном выборе корней из единицы) согласуется с характером Брауэра исходного характеристического модуля p на p -регулярных элементах. Таким образом, можно определить (обычное кольцо характеров) внутренний продукт характера Брауэра проективного неразложимого с любым другим характером Брауэра: это 0, есливторой характер Брауэра — это характер цоколя неизоморфной проективной неразложимой структуры, а 1если второй характер Брауэра — это его собственный цоколь. Кратность обычной неприводимойхарактер лифта проективной неразложимой равен числувхождений Брауэровского характера цоколя проективной неразложимой, когда ограничение обыкновенного характера на р -регулярные элементы выражается как сумма неприводимых Брауэровских характеров.

Матрица разложения и матрица Картана

Коэффициенты состава проективных неразложимых модулей можно рассчитать следующим образом:Учитывая обычные неприводимые и неприводимые характеры Брауэра конкретной конечной группы, неприводимые обычные характеры можно разложить как неотрицательные целочисленные комбинации неприводимых характеров Брауэра. Используемые целые числа можно поместить в матрицу, при этом обычным несократимым символам будут присвоены строки, а неприводимым символам Брауэра — столбцы. Это называется матрицей разложения и часто обозначается D. буквой Тривиальные обычные символы и символы Брауэра принято размещать в первой строке и столбце соответственно. Произведение транспонирования D с D самим в результате получается матрица Картана , обычно обозначаемая C ; это симметричная матрица такая, что элементы в ее j -й строке представляют собой кратности соответствующих простых модулей в виде композициифакторы j -го проективного неразложимого модуля. Картанматрица неособая; на самом деле, его определителем является мощностьХарактеристика К. ​

Поскольку проективный неразложимый модуль в данном блоке имеетвсе его факторы состава в одном и том же блоке, каждый блок имеетсвоя матрица Картана.

Группы дефектов

Каждому блоку B групповой алгебры K [ G ] Брауэр сопоставил некоторую p -подгруппу, известную как ее дефектная группа (где p — характеристика K ). Формально это самая крупная p -подгруппа D группы G, для которой существует корреспондент B Брауэр - дляподгруппа $DC_{G}(D)$, где $C_{G}(D)$ является централизатором D ​ в G .

Дефектная группа блока уникальна с точностью до сопряженности и оказывает сильное влияние на структуру блока. Например, если группа дефектов тривиальна, то блок содержит только один простой модуль, только один обычный характер, обычный и неприводимый характеры Брауэра согласуются по элементам порядка, простого с соответствующей характеристикой p , и простой модуль является проективным. С другой стороны, когда K имеет характеристику p , силовская p -подгруппа конечной группы G является дефектной группой для главного блока K [ G ].

Порядок группы дефектов блока имеет множество арифметических характеристик, связанных с теорией представлений. Это самый большой инвариантный фактор матрицы Картана блока, который возникает прикратность одна. Кроме того, степень p, делящая индекс группы дефектов блока, является наибольшим общим делителем степеней p, делящих размеры простых модулей в этом блоке, и это совпадает с наибольшим общим делителем степеней p. деление степеней обычных неприводимых характеров в этом блоке.

Другие связи между группой дефектов блока и теорией характеров включают результат Брауэра о том, что если ни один сопряженный элемент p -части элемента группы g не входит в группу дефектов данного блока, то каждый неприводимый символ в этом блоке исчезает в точке g . Это одно из многих следствий второй основной теоремы Брауэра.

Группа дефектов блока также имеет несколько характеристик в более теоретико-модульном подходе к теории блоков, основанном на работе Дж. А. Грина , который связывает p -подгруппуизвестная как вершина неразложимого модуля, определяемая с точки зрения относительной проективности модуля. Например, вершина каждого неразложимого модуля в блоке содержится (с точностью до сопряженности)в группе дефектов блока, и ни одна подгруппа группы дефектов не обладает этим свойством.

Первая основная теорема Брауэра утверждает, что количество блоков конечной группы, которые имеют данную p -подгруппу в качестве группы дефектов, такое же, как соответствующее число нормализатора в группе этой p -подгруппы.

Проще всего анализировать блочную структуру с нетривиальной группой дефектов, когда последняя является циклической. Тогда существует только конечное число типов изоморфизма неразложимых модулей в блоке, и структура блока к настоящему времени хорошо понята, благодаря работам Брауэра, Э. К. Дейда , Дж. А. Грина и Дж. Г. Томпсона , среди других. Во всех остальных случаях в блоке имеется бесконечно много типов изоморфизма неразложимых модулей.

Блоки, группы дефектов которых не являются циклическими, можно разделить на два типа: ручные и дикие. Ручные блоки (которые встречаются только для простого числа 2) имеют в качестве дефектной группы группу диэдра , полудиэдральную группу или (обобщенную) группу кватернионов , и их структура была широко определена в серии статей Карин Эрдманн . Неразложимые модули в диких блоках крайне сложно классифицировать даже в принципе.

Ссылки

• Брауэр, Р. (1935), О представлении групп в полях Галуа , Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 195, Париж: Hermann et cie, стр. 1–15, обзор.
• Диксон, Леонард Юджин (1902), «О группе, определенной для любого данного поля с помощью таблицы умножения любой заданной конечной группы», Труды Американского математического общества , 3 (3), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 285– 301, номер doi : 10.2307/1986379 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1986379.
• Жан-Пьер Серр (1977). Линейные представления конечных групп . Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-90190-6 .
• Уолтер Фейт (1982). Теория представлений конечных групп . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 25. Амстердам-Нью-Йорк: Издательство Северной Голландии. ISBN  0-444-86155-6 .