С* теорема

В математике Джорджа Глаубермана формулируется Z*-теорема следующим образом:

Теорема Z*: Пусть G — конечная группа , причем O ( G ) — ее максимальная подгруппа нечетного порядка нормальная . Если T — силовская 2-подгруппа группы G содержащая инволюцию не сопряженную в G ни с каким другим элементом из T , то инволюция лежит в Z* ( G ), который является прообразом в G центра , G , / O ( Г ).

Это обобщает теорему Брауэра–Сузуки (и доказательство использует теорему Брауэра–Сузуки для рассмотрения некоторых небольших случаев).

Подробности [ править ]

В оригинальной статье Глауберман (1966) дал несколько критериев того, что элемент находится вне Z* ( G ). Его теорема 4 гласит:

Для элемента t из T необходимо и достаточно, чтобы t лежал вне Z* ( G ), чтобы существовал некоторый g в G и абелева подгруппа U группы T, удовлетворяющая следующим свойствам:
g нормализует как U , так и централизатор C _T ( U ), то есть g содержится в = NG ( ₎ U ∩ NG ( _C T N ₍ U ) )
t содержится в U и tg ≠ gt
U порождается N -сопряженными с t
показатель степени U равен порядку t
Более того, g может быть выбран так, чтобы иметь простой степенной порядок, если t находится в центре T , и g может быть выбран в T в противном случае.

Простое следствие состоит в том, что элемент t из T не находится в Z* ( G ) тогда и только тогда, когда существует некоторый s ≠ t такой, что s и t коммутируют, а s и t -сопряжены G .

Обобщение на нечетные простые числа было записано в Guralnick & Robinson (1993) : если t является элементом простого порядка p и коммутатор [ t , g ] имеет порядок, простой с p для всех g , то t является центральным по модулю p'- взаимно основной . Это также было обобщено на нечетные простые числа и на компактные группы Ли в работе Мислина и Тевена (1991) , которая также содержит несколько полезных результатов в конечном случае.

Хенке и Семераро (2015) также изучили распространение теоремы Z * на пары групп ( G , H ) с H - нормальной подгруппой G .

Цитируемые работы [ править ]

Дейд, Эверетт К. (1971), «Теория характеров, относящаяся к конечным простым группам», в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г. , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 249–327, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0360785 дает подробное доказательство теоремы Брауэра – Сузуки.
Глауберман, Джордж (1966), «Центральные элементы в группах без ядра», Journal of Algebra , 4 (3): 403–420, doi : 10.1016/0021-8693(66)90030-5 , ISSN 0021-8693 , MR 0202822 , Збл 0145.02802
Гуралник, Роберт М.; Робинсон, Джеффри Р. (1993), «О расширениях теоремы Баера-Сузуки», Израильский математический журнал , 82 (1): 281–297, doi : 10.1007/BF02808114 , ISSN 0021-2172 , MR 1239051 , Zbl 0794.20029
Хенке, Эллен; Семераро, Джейсон (1 октября 2015 г.). «Централизаторы нормальных подгрупп и Z*-теорема» . Журнал алгебры . 439 : 511–514. arXiv : 1411.1932 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2015.06.027 .
Мислин, Гвидо; Тевеназ, Жак (1991), «Z*-теорема для компактных групп Ли» , Mathematische Annalen , 291 (1): 103–111, doi : 10.1007/BF01445193 , ISSN 0025-5831 , MR 1125010