Ядро (теория групп)

В теории групп разделе математики , ядром является любая из некоторых специальных нормальных подгрупп группы , . Двумя наиболее распространенными типами являются ядро подгруппы нормальное и p -ядро группы.

Обычное ядро

Определение

Для группы G или нормальное ядро нормальная внутренняя часть ^[1] подгруппы H — это наибольшая нормальная подгруппа группы G , содержащаяся в H что то же самое, пересечение сопряженных групп H (или , ). В более общем смысле ядро H относительно подмножества S ⊆ G — это пересечение сопряженных H относительно S , т.е.

\mathrm {Core} _{S}(H):=\bigcap _{s\in S}{s^{-1}Hs}.

нормальное ядро является ядром относительно S = G. Согласно этому более общему определению , Нормальным ядром любой нормальной подгруппы является сама подгруппа.

Значение

Нормальные ядра важны в контексте групповых действий на множествах , где нормальное ядро подгруппы изотропии любой точки действует как единица на всей ее орбите . действия Таким образом, в случае транзитивности нормальное ядро любой изотропной подгруппы является в точности ядром действия.

Подгруппа без ядра — это подгруппа, нормальным ядром которой является тривиальная подгруппа . Эквивалентно, это подгруппа, которая возникает как подгруппа изотропии транзитивного, точного группового действия.

Решение проблемы скрытых подгрупп в абелевом случае обобщается на поиск нормального ядра в случае подгрупп произвольных групп.

P - ядро

В этом разделе G будет обозначать конечную группу , хотя некоторые аспекты распространяются на локально конечные группы и на проконечные группы .

Определение

Для простого числа p ядро p - конечной группы определяется как ее наибольшая нормальная p -подгруппа . Это нормальное ядро каждой силовской p-подгруппы группы. p - ядро G часто обозначается $O_{p}(G)$ и, в частности, появляется в одном из определений подгруппы Фиттинга группы конечной . Аналогично, p′ -ядро — это наибольшая нормальная подгруппа группы G , порядок которой взаимно прост с p, и обозначается $O_{p'}(G)$ . В области конечных неразрешимых групп, включая классификацию конечных простых групп , 2'-ядро часто называют просто ядром и обозначают $O(G)$ . Это вызывает лишь небольшую путаницу, поскольку обычно можно отличить ядро группы от ядра подгруппы внутри группы. p ′ , p -ядро , обозначаемое $O_{p',p}(G)$ определяется $O_{p',p}(G)/O_{p'}(G)=O_{p}(G/O_{p'}(G))$ . Для конечной группы p ', p -ядро является единственной наибольшей нормальной p -нильпотентной подгруппой.

- ядро p также можно определить как уникальную наибольшую субнормальную p -подгруппу; p ′ ′-ядро как единственная наибольшая субнормальная p -подгруппа; и p ', p -ядро как единственная наибольшая субнормальная p -нильпотентная подгруппа.

P ' и p ', p -ядро начинают верхний p -ряд . Для наборов π ₁ , π ₂ , ..., π _{n +1} простых чисел подгруппы O _{π ₁ , π ₂ , ..., π _{n +1}} ( G ) определяются следующим образом:

O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n+1}}(G)/O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n}}(G)=O_{\pi _{n+1}}(G/O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n}}(G))

Верхний p -ряд образуется, если взять π _{2 i −1} = p ′ и π _{2 i} = p; существует также нижняя p -серия . Конечная группа называется p -нильпотентной тогда и только тогда, когда она равна своему p ', p -ядру. Конечная группа называется p -разрешимой тогда и только тогда, когда она равна некоторому члену своего верхнего p -ряда; его p -длина равна длине его верхнего p -ряда. Конечная группа G называется p-ограниченной для простого числа p, если $C_{G}(O_{p',p}(G)/O_{p'}(G))\subseteq O_{p',p}(G)$ .

Каждая нильпотентная группа является p -нильпотентной, и каждая p -нильпотентная группа p -разрешима. Каждая разрешимая группа является p -разрешимой, а каждая p -разрешимая группа является p -ограниченной. Группа p -нильпотентна тогда и только тогда, когда она имеет нормальное p -дополнение , которое является ее p' -ядром.

Значение

Так же, как нормальные ядра важны для действий групп на множествах, p -ядра и p' -ядра важны в теории модульных представлений , которая изучает действия групп на векторных пространствах . - ядро p конечной группы — это пересечение ядер неприводимых представлений над любым полем характеристики p . Для конечной группы p′ -ядро — это пересечение ядер обычных (комплексных) неприводимых представлений, лежащих в главном p -блоке. Для конечной группы p ', p -ядро — это пересечение ядер неприводимых представлений в главном p -блоке над любым полем характеристики p . Кроме того, для конечной группы p ′, p -ядро представляет собой пересечение централизаторов главных абелевых факторов, порядок которых делится на p (все из которых являются неприводимыми представлениями над полем размера p, лежащим в главном блоке) . Для конечной группы с p -ограничениями неприводимый модуль над полем характеристики p лежит в главном блоке тогда и только тогда, когда p ′-ядро группы содержится в ядре представления.

Растворимые радикалы

Родственная подгруппа по понятию и обозначениям - это разрешимый радикал. Разрешимый радикал определяется как наибольшая разрешимая нормальная подгруппа и обозначается $O_{\infty }(G)$ . В литературе существуют некоторые расхождения в определении - ядра G. p' Лишь несколько авторов лишь в нескольких статьях (например, в статьях Джона Г. Томпсона о N-группах, но не в его более поздних работах) определяют p' -ядро неразрешимой группы G как p' -ядро ее разрешимого радикала в чтобы лучше имитировать свойства 2'-ядра.

Ссылки

^ Робинсон (1996) стр.16

Ашбахер, Майкл (2000), Теория конечных групп , издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-78675-4
Доерк, Клаус; Хоукс, Тревор (1992). Конечные растворимые группы . Вальтер де Грюйтер . ISBN 3-11-012892-6 .
Юпперт, Бертрам; Блэкберн, Норман (1982). Конечные группы II . Спрингер Верлаг . ISBN 0-387-10632-4 .
Робинсон, Дерек Дж.С. (1996). Курс теории групп . Тексты для аспирантов по математике . Том. 80 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-94461-3 . Збл 0836.20001 .

[1] Робинсон (1996) стр.16

[1]