Три основные теоремы Брауэра

Основные теоремы Брауэра — это три теоремы теории представлений конечных групп, связывающие блоки ( конечной группы в характеристике p ) с блоками ее p -локальных подгрупп , то есть с нормализаторами ее нетривиальных p -подгрупп.

Вторая и третья основные теоремы позволяют уточнить отношения ортогональности для обычных характеров , которые могут быть применены в теории конечных групп . В настоящее время они не допускают доказательства чисто в терминах обычных характеров. Все три основные теоремы формулируются в терминах соответствия Брауэра .

Переписка Брауэра

Есть много способов расширить следующее определение, но это близко к ранним методам лечения. от Брауэра. Пусть G — конечная группа, p — простое число , F — поле характеристики p . Пусть H — подгруппа группы G , содержащая

$QC_{G}(Q)$

для некоторой p -подгруппы Q группы G и содержится в нормализаторе

$N_{G}(Q)$,

где $C_{G}(Q)$ является централизатором Q ​ в G .

Гомоморфизм Брауэра относительно H ) — это линейное отображение центра . групповой алгебры группы G над F в соответствующую алгебру для H ( , это ограничение В частности $Z(FG)$ (линейной) проекции из $FG$ к $FC_{G}(Q)$ чей ядро натянуто элементами G снаружи $C_{G}(Q)$. Изображение этой карты содержится в $Z(FH)$, и оказывается, что отображение также является кольцевым гомоморфизмом .

Поскольку это кольцевой гомоморфизм, для любого блока B группы FG гомоморфизм Брауэра отправляет идентификационный элемент B либо в 0, либо в идемпотентный элемент . В последнем случае идемпотент может быть разложен как сумма (взаимно ортогональных ) примитивных идемпотентов Z ( FH ). Каждый из этих примитивных идемпотентов является мультипликативным тождеством некоторого блока FH. Блок b из FH называется Брауэровским корреспондентом B , если его единичный элемент встречается в этом разложении образа единицы B при гомоморфизме Брауэра.

Первая основная теорема Брауэра

Первая основная теорема Брауэра (Брауэр 1944 , 1956 , 1970 ) утверждает, что если $G$ является конечной группой и $D$ это $p$-подгруппа $G$, то существует биекция между множеством (характеристика p ) блоков $G$ с группой дефектов $D$ и блоки нормализатора $N_{G}(D)$ с дефектов Д. группа Эта биекция возникает потому, что когда $H=N_{G}(D)$, каждый блок G с группой дефектов D имеет единственный блок-корреспондент Брауэра H , который также имеет дефект группа Д. ​

Вторая основная теорема Брауэра

Вторая основная теорема Брауэра (Brauer 1944 , 1959 ) дает для элемента t которого , порядок является степенью простого числа p , критерий (характеристики p ) блока $C_{G}(t)$ соответствовать данному блоку $G$, через обобщенные числа разложения . Это коэффициенты, которые возникают, когда ограничения обычных символов $G$ (из данного блока) к элементам вида tu , где u пробегает элементы порядка, простого до p в $C_{G}(t)$, записываются как линейные комбинации неприводимых Брауэра характеров $C_{G}(t)$. Содержание теоремы состоит в том, что характеры Брауэра необходимо использовать только из блоков $C_{G}(t)$ которые являются Брауэровскими корреспондентами выбранного блока G .

Третья основная теорема Брауэра

Третья основная теорема Брауэра ( Brauer 1964 , теорема 3) утверждает, что когда Q является p -подгруппой конечной группы G , и H — подгруппа группы G, содержащая $QC_{G}(Q)$ и содержится в $N_{G}(Q)$, тогда главный блок H G является единственным Брауэровским корреспондентом главного блока ( где упомянутые блоки вычисляются в характеристике p ).

Ссылки

• Брауэр, Р. (1944), «Об арифметике в групповом кольце», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 30 (5): 109–114, doi : 10.1073/pnas.30.5.109 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   87919 , MR   0010547 , ПМК   1078679 , ПМИД   16578120
• Брауэр, Р. (1946), «О блоках характеров групп конечного порядка I», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 32 (6): 182–186, doi : 10.1073/pnas. 32.6.182 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   87578 , MR   0016418 , ПМК   1078910 , ПМИД   16578199
• Брауэр, Р. (1946), «О блоках характеров групп конечного порядка. II», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 32 (8): 215–219, doi : 10.1073/pnas .32.8.215 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   87838 , MR   0017280 , ПМК   1078924 , ПМИД   16578207
• Брауэр, Р. (1956), «К теории представлений групп конечного порядка», Mathematical Journal , 63 : 406–444, doi : 10.1007/BF01187950 , ISSN   0025-5874 , MR   0075953 , S2CID   186223039
• Брауэр, Р. (1959), «К теории представлений групп конечного порядка. II», Mathematical Journal , 72 : 25–46, doi : 10.1007/BF01162934 , ISSN   0025-5874 , MR   0108542 , S2CID   122127627
• Брауэр, Р. (1964), «Некоторые приложения теории блоков характеров конечных групп. I», Journal of Algebra , 1 (2): 152–167, doi : 10.1016/0021-8693(64)90031- 6 , ISSN   0021-8693 , МР   0168662
• Брауэр, Р. (1970), «О первой основной теореме о блоках характеров конечных групп». , Illinois Journal of Mathematics , 14 (2): 183–187, doi : 10.1215/ijm/1256053174 , ISSN   0019-2082 , MR   0267010
• Дейд, Эверетт К. (1971), «Теория характеров, относящаяся к конечным простым группам», в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г. , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 249–327, ISBN.  978-0-12-563850-0 , MR   0360785 дает подробное доказательство основных теорем Брауэра.
• Эллерс, Х. (2001) [1994], «Первая основная теорема Брауэра» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Эллерс, Х. (2001) [1994], «Гипотеза Брауэра о высоте и нуле» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Эллерс, Х. (2001) [1994], «Вторая основная теорема Брауэра» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Эллерс, Х. (2001) [1994], «Третья основная теорема Брауэра» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Уолтер Фейт , Теория представлений конечных групп. Математическая библиотека Северной Голландии, 25. Издательство Северной Голландии, Амстердам-Нью-Йорк, 1982. xiv+502 стр. ISBN   0-444-86155-6