Модульная теория инвариантов

В математике модулярный инвариант группы векторном — это инвариант конечной группы, действующий в пространстве положительной характеристики (обычно делящего порядок группы). Исследование модульных инвариантов было начато примерно в 1914 году Диксоном (2004) .

Инвариант Диксона

Когда G — конечная общая линейная группа GL n ( F q ) над конечным полем F q порядка простой степени q, действующая на кольце F q [ X 1 , ..., X n ] естественным образом, Диксон ( 1911) нашел полный набор инвариантов следующим образом. Запишите [ e 1 , ..., en , для определителя матрицы ] элементами которой являются X. д e j
i , где e 1 , ..., en — целые неотрицательные числа . Например, определитель Мура [0,1,2] порядка 3 равен

${\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}^{q}&x_{1}^{q^{2}}\\x_{2}&x_{2}^{q}&x_{2}^{q^{2}}\\x_{3}&x_{3}^{q}&x_{3}^{q^{2}}\end{vmatrix}}$

Тогда под действием элемента g из GL _n ( F _q ) все эти определители умножаются на det( g ), поэтому все они являются инвариантами SL _n ( F _q ) и отношений [ e ₁ , ..., e _n ]/[0, 1, ..., n − 1] являются инвариантами GL _n ( F _q ), называемыми инвариантами Диксона . Диксон доказал, что полное кольцо инвариантов F _q [ X ₁ , ..., X _n ] ^{GL _n ( F _q )} является полиномиальной алгеброй над n инвариантами Диксона [0, 1, ..., i − 1, i + 1, ..., n ] / [0, 1, ..., n − 1] для i = 0 , 1, ..., n − 1. Стейнберг (1987) дал более короткое доказательство теоремы Диксона.

Матрицы [ e ₁ , ..., en _{] делятся на} все ненулевые линейные формы от переменных X _i с коэффициентами из конечного поля F _q . В частности, определитель Мура [0, 1, ..., n − 1] представляет собой произведение таких линейных форм, взятых по 1 + q + q. ² + ... + д ^{п – 1} представители ( n – 1)-мерного проективного пространства над полем. Эта факторизация аналогична факторизации определителя Вандермонда на линейные факторы.

См. также

• Теорема Сандерсона

Ссылки

• Диксон, Леонард Юджин (1911), «Фундаментальная система инвариантов общей модульной линейной группы с решением проблемы формы», Труды Американского математического общества , 12 (1): 75–98, doi : 10.2307/1988736 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1988736
• Диксон, Леонард Юджин (2004) [1914], Об инвариантах и ​​теории чисел , издания Dover Phoenix, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-43828-3 , МР   0201389
• Резерфорд, Дэниел Эдвин (2007) [1932], Модульные инварианты , Кембриджские трактаты по математике и математической физике, № 27, Ramsay Press, ISBN  978-1-4067-3850-6 , МР   0186665
• Сандерсон, Милдред (1913), «Формальные модульные инварианты с применением к двоичным модульным ковариантам», Transactions of the American Mathematical Society , 14 (4): 489–500, doi : 10.2307/1988702 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1988702
• Стейнберг, Роберт (1987), «О теореме Диксона об инвариантах» (PDF) , Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел ИА. Mathematics , 34 (3): 699–707, ISSN   0040-8980 , MR   0927606 , заархивировано из оригинала (PDF) 05 марта 2012 г. , получено 2 декабря 2010 г.