Характер ориентации

В алгебраической топологии , разделе математики , характер ориентации на группе $\pi$ является групповым гомоморфизмом , где:

$\omega \colon \pi \to \left\{\pm 1\right\}$

Это понятие имеет особое значение в теории хирургии .

Мотивация

Учитывая многообразие M , берут $\pi =\pi _{1}M$ ( фундаментальная группа ), а затем $\omega$ отправляет элемент $\pi$ к $-1$ тогда и только тогда, когда класс, который он представляет, меняет ориентацию.

Эта карта $\omega$ тривиально тогда и только тогда, M ориентируемо когда .

Характер ориентации — это алгебраическая структура фундаментальной группы многообразия, которая определяет, какие петли меняют ориентацию, а какие сохраняют ориентацию.

Скрученная групповая алгебра

Характер ориентации определяет скрученную инволюцию ( структуру *-кольца ) на групповом кольце. $\mathbf {Z} [\pi ]$, к $g\mapsto \omega (g)g^{-1}$ (т.е. $\pm g^{-1}$, соответственно, как $g$ сохранение или изменение ориентации). Это обозначается $\mathbf {Z} [\pi ]^{\omega }$.

Примеры

• В реальных проективных пространствах символ ориентации тривиально вычисляет циклы, если размерность нечетная, и присваивает -1 несжимаемым циклам четной размерности.

Характеристики

Характер ориентации либо тривиален, либо имеет ядро ​​и подгруппу индекса 2, полностью определяющую отображение.

См. также

• Класс характеристики
• Локальная система
• Искаженная двойственность Пуанкаре

Внешние ссылки

• Ориентировочный характер в Атласе многообразия