Локально закрытое подмножество

В топологии , разделе математики, есть подмножество пространства топологического называется локально замкнутым, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: [1] [2] [3] [4]

  • является пересечением открытого и закрытого множества в
  • Для каждой точки есть район из такой, что закрыт в
  • открыт в своем закрытии
  • Набор закрыт в
  • это разность двух замкнутых множеств в
  • это разница двух открытых множеств в

Второе условие оправдывает терминологию локальной замкнутости и представляет собой определение локальной замкнутости, данное Бурбаки. [1] Чтобы увидеть, что второе условие влечет за собой третье, используйте тот факт, что для подмножеств закрыт в тогда и только тогда, когда и это для подмножества и открытое подмножество

Примеры [ править ]

Интервал является локально замкнутым подмножеством В качестве другого примера рассмотрим относительную внутреннюю часть закрытого диска в Он локально замкнут, поскольку представляет собой пересечение замкнутого диска и открытого шара.

С другой стороны, является не локально замкнутым подмножеством .

Напомним, что по определению подмногообразие из -многообразие такое подмножество, что для каждой точки в есть диаграмма вокруг него так, что Следовательно, подмногообразие локально замкнуто. [5]

Вот пример из алгебраической геометрии. Пусть U — открытая аффинная карта на проективном многообразии X (в топологии Зарисского). Тогда каждое замкнутое подмногообразие Y в U локально замкнуто в X ; а именно, где обозначает замыкание Y в X . (См. также квазипроективное многообразие и квазиаффинное многообразие .)

Свойства [ править ]

Конечные пересечения и прообраз при непрерывном отображении локально замкнутых множеств локально замкнуты. [1] С другой стороны, объединение и дополнение локально замкнутых подмножеств не обязательно должны быть локально замкнутыми. [6] (Это мотивирует понятие конструктивного множества .)

Особенно в теории стратификации , для локально замкнутого подмножества дополнение называется границей (не путать с топологической границей ). [2] Если является замкнутым подмногообразием с краем многообразия тогда относительная внутренность (т. е. внутренность как многообразие) локально закрыт в и граница его как многообразия совпадает с границей его как локально замкнутого подмножества. [2]

Говорят, что топологическое пространство субмаксимальный , если каждое подмножество локально замкнуто. см . в Глоссарии топологии #S Дополнительную информацию об этом понятии .

См. также [ править ]

  • Счетно генерируемое пространство - топологическое пространство, в котором топология определяется его счетными подмножествами.

Примечания [ править ]

  1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Бурбаки 2007 , Гл. 1, § 3, вып. 3.
  2. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Пфлаум 2001 , Пояснение 1.1.2.
  3. ^ Ганстер, М.; Рейли, Иллинойс (1989). «Локально замкнутые множества и LC-непрерывные функции» . Международный журнал математики и математических наук . 12 (3): 417–424. дои : 10.1155/S0161171289000505 . ISSN   0161-1712 .
  4. ^ Энгелькинг 1989 , Упражнение 2.7.1.
  5. ^ Мазер, Джон (2012). «Заметки о топологической устойчивости» . Бюллетень Американского математического общества . 49 (4): 475–506. дои : 10.1090/S0273-0979-2012-01383-6 . раздел 1, с. 476
  6. ^ Бурбаки 2007 , Глава 1, § 3, Упражнение 7.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]