Локально закрытое подмножество

В топологии , разделе математики, есть подмножество $E$ пространства топологического $X$ называется локально замкнутым, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• $E$ является пересечением открытого и закрытого множества в $X.$
• Для каждой точки $x\in E,$ есть район $U$ из $x$ такой, что $E\cap U$ закрыт в $U.$
• $E$ открыт в своем закрытии ${\overline {E}}.$
• Набор ${\overline {E}}\setminus E$ закрыт в $X.$
• $E$ это разность двух замкнутых множеств в $X.$
• $E$ это разница двух открытых множеств в $X.$

Второе условие оправдывает терминологию локальной замкнутости и представляет собой определение локальной замкнутости, данное Бурбаки. Чтобы увидеть, что второе условие влечет за собой третье, используйте тот факт, что для подмножеств $A\subseteq B,$ $A$ закрыт в $B$ тогда и только тогда, когда $A={\overline {A}}\cap B$ и это для подмножества $E$ и открытое подмножество $U,$ ${\overline {E}}\cap U={\overline {E\cap U}}\cap U.$

Примеры

Интервал $(0,1]=(0,2)\cap [0,1]$ является локально замкнутым подмножеством $\mathbb {R} .$ В качестве другого примера рассмотрим относительную внутреннюю часть $D$ закрытого диска в $\mathbb {R} ^{3}.$ Он локально замкнут, поскольку представляет собой пересечение замкнутого диска и открытого шара.

С другой стороны, $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\neq 0\}\cup \{(0,0)\}$ является не локально замкнутым подмножеством $\mathbb {R} ^{2}$.

Напомним, что по определению подмногообразие $E$ из $n$-многообразие $M$ такое подмножество, что для каждой точки $x$ в $E,$ есть диаграмма $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ вокруг него так, что $\varphi (E\cap U)=\mathbb {R} ^{k}\cap \varphi (U).$ Следовательно, подмногообразие локально замкнуто.

Вот пример из алгебраической геометрии. Пусть U — открытая аффинная карта на проективном многообразии X (в топологии Зарисского). Тогда каждое замкнутое подмногообразие Y в U локально замкнуто в X ; а именно, $Y=U\cap {\overline {Y}}$ где ${\overline {Y}}$ обозначает замыкание Y в X . (См. также квазипроективное многообразие и квазиаффинное многообразие .)

Свойства

Конечные пересечения и прообраз при непрерывном отображении локально замкнутых множеств локально замкнуты. С другой стороны, объединение и дополнение локально замкнутых подмножеств не обязательно должны быть локально замкнутыми. (Это мотивирует понятие конструктивного множества .)

Особенно в теории стратификации , для локально замкнутого подмножества $E,$ дополнение ${\overline {E}}\setminus E$ называется границей ​ $E$ (не путать с топологической границей ). Если $E$ является замкнутым подмногообразием с краем многообразия $M,$ тогда относительная внутренность (т. е. внутренность как многообразие) $E$ локально закрыт в $M$ и граница его как многообразия совпадает с границей его как локально замкнутого подмножества.

Говорят, что топологическое пространство субмаксимальный , если каждое подмножество локально замкнуто. см . в Глоссарии топологии #S Дополнительную информацию об этом понятии .

См. также

• Счетно генерируемое пространство - топологическое пространство, в котором топология определяется его счетными подмножествами. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (2007). Общая топология. Главы с 1 по 4 . Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-540-33982-3 . ISBN  978-3-540-33982-3 .
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN  3-88538-006-4 .
• Пфлаум, Маркус Дж. (2001). Аналитическое и геометрическое исследование стратифицированных пространств . Конспект лекций по математике. Том. 1768. Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-42626-4 . OCLC   47892611 .

Внешние ссылки

• локально закрытый комплекс в n Lab