Единичный диск

В математике открытый единичный диск (или диск ) вокруг P (где P — заданная точка плоскости ) — это набор точек, расстояние от которых до P меньше 1:

D_{1}(P)=\{Q:\vert P-Q\vert <1\}.\,

Замкнутый единичный круг вокруг P — это набор точек, расстояние от которых до P меньше или равно единице:

{\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|P-Q|\leq 1\}.\,

Единичные диски — это частные случаи дисков и единичных шаров ; как таковые, они содержат внутреннюю часть единичного круга и, в случае замкнутого единичного диска, сам единичный круг.

Без дальнейших уточнений термин единичный диск используется для обозначения открытого единичного диска о происхождении , $D_{1}(0)$ относительно стандартной евклидовой метрики . Это внутренняя часть круга радиуса 1 с центром в начале координат. Этот набор можно отождествить с набором всех комплексных чисел с абсолютным значением меньше единицы. Если рассматривать его как подмножество комплексной плоскости ( C ), единичный диск часто обозначается $\mathbb {D}$ .

Открытый единичный диск, плоскость и верхняя полуплоскость.

Функция

f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}

является примером вещественной аналитической и биективной функции от открытого единичного круга до плоскости; его обратная функция также является аналитической. Следовательно, рассматриваемый как вещественное двумерное аналитическое многообразие , открытый единичный диск изоморфен всей плоскости. В частности, открытый единичный диск гомеоморфен всей плоскости.

не существует конформного Однако между открытым единичным диском и плоскостью биективного отображения. Следовательно, рассматриваемый как риманова поверхность , открытый единичный диск отличается от комплексной плоскости .

существуют конформные биективные отображения Между открытым единичным диском и открытой верхней полуплоскостью . Открытый единичный диск, рассматриваемый таким образом как риманова поверхность, изоморфен («биголоморфен» или «конформно эквивалентен») верхней полуплоскости, и эти два понятия часто используются как взаимозаменяемые.

В более общем смысле теорема Римана об отображении утверждает, что каждое односвязное открытое подмножество комплексной плоскости, отличное от самой комплексной плоскости, допускает конформное и биективное отображение в открытый единичный круг.

Одним из биективных конформных отображений открытого единичного диска в открытую верхнюю полуплоскость является преобразование Мёбиуса.

g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}

что является обратным преобразованию Кэли .

Геометрически можно представить, что реальная ось согнута и сжата так, что верхняя полуплоскость становится внутренней частью диска, а реальная ось образует окружность диска, за исключением одной точки вверху, «точки на бесконечности». Биективная конформная карта открытого единичного диска в открытую верхнюю полуплоскость также может быть построена как композиция двух стереографических проекций : сначала единичный диск стереографически проецируется вверх на единичную верхнюю полусферу, принимая «южный полюс» » единичной сферы в качестве центра проекции, а затем эта полусфера проецируется вбок на вертикальную полуплоскость, касающуюся сферы, принимая точку на полусфере, противоположную точке касания, в качестве центра проекции.

Единичный диск и верхняя полуплоскость не являются взаимозаменяемыми как области определения пространств Харди . Этому различию способствует тот факт, что единичная окружность имеет конечную (одномерную) меру Лебега, а действительная линия - нет.

Гиперболическая плоскость

Открытый единичный диск образует набор точек для модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости. Дуги окружностей, перпендикулярные единичной окружности, образуют в этой модели «линии». Единичный круг — это абсолют Кэли , который определяет метрику на диске посредством использования перекрестного отношения в стиле метрики Кэли-Клейна . На языке дифференциальной геометрии дуги окружностей, перпендикулярные единичной окружности, представляют собой геодезические , показывающие кратчайшее расстояние между точками модели. В модель включены движения , которые выражаются специальной унитарной группой SU(1,1) . Модель диска можно преобразовать в модель полуплоскости Пуанкаре с помощью отображения g, приведенного выше.

И диск Пуанкаре, и полуплоскость Пуанкаре являются конформными моделями гиперболической плоскости, то есть углы между пересекающимися кривыми сохраняются за счет движения их групп изометрий.

На открытом единичном диске построена также другая модель гиперболического пространства: модель Бельтрами-Клейна . Она не конформна , но обладает тем свойством, что геодезические представляют собой прямые линии.

Диски единиц относительно других метрик

Можно также рассматривать единичные диски по отношению к другим метрикам . Например, в метрике такси и метрике Чебышева диски выглядят как квадраты (хотя лежащие в их основе топологии такие же, как евклидова).

Площадь евклидова единичного диска равна π , а его периметр — 2π. Напротив, периметр (относительно метрики такси) единичного диска в геометрии такси равен 8. В 1932 году Станислав Голоб доказал, что в метриках, возникающих из нормы , периметр единичного диска может принимать любое значение между 6 и 8, и что эти экстремальные значения получаются тогда и только тогда, когда единичный круг представляет собой правильный шестиугольник или параллелограмм соответственно.

См. также

Ссылки

С. Голаб, “Некоторые метрические задачи геометрии Минковского”, Тр. акад. Горный Краков 6 (1932), 179.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Единичный диск» . Математический мир .
О периметре и площади единичного диска , Дж. К. Альварес Павиа и А. С. Томпсон.