Унифицированное пространство
Эта статья в значительной степени или полностью опирается на один источник . ( июнь 2022 г. ) |
В математике топологическое пространство X является униформизируемым если существует на равномерная структура X , которая индуцирует топологию X. , Эквивалентно, X униформизуемо тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно равномерному пространству (наделенному топологией, индуцированной равномерной структурой).
Любое ( псевдо ) метризуемое пространство униформизуемо, поскольку (псевдо)метрическая однородность индуцирует (псевдо)метрическую топологию. Обратное неверно: существуют униформизируемые пространства, которые не (псевдо)метризуемы. Однако верно, что топология униформизируемого пространства всегда может быть семейством псевдометрик ; индуцирована на самом деле это связано с тем, что любая однородность на множестве X может быть определена семейством псевдометрик.
Показать, что пространство униформизуемо, гораздо проще, чем доказать, что оно метризуемо. Фактически, униформизируемость эквивалентна общей аксиоме разделения :
- Топологическое пространство униформизуемо тогда и только тогда, когда оно вполне регулярно .
Вызванная однородность
[ редактировать ]Один из способов построить равномерную структуру на топологическом пространстве X — это взять начальную однородность на X, C ( X ) , семейством действительных непрерывных функций на X. индуцированную Это самая грубая равномерность на X , при которой все такие функции равномерно непрерывны . Подбазой для этого единообразия является совокупность всех антуражей.
где f ∈ C ( X ) и ε > 0.
Равномерная топология, порожденная указанной выше однородностью, является исходной топологией, индуцированной семейством C ( X ). В общем случае эта топология будет более грубой чем заданная топология на X. , Две топологии будут совпадать тогда и только тогда, когда X вполне регулярно.
Прекрасная однородность
[ редактировать ]Для данного униформизируемого пространства X существует тончайшая однородность на X, совместимая с топологией X, называемая тонкой однородностью или универсальной однородностью . Говорят, что однородное пространство является идеальным , если оно обладает тонкой однородностью, порождаемой его однородной топологией.
Тонкая однородность характеризуется универсальным свойством : любая непрерывная функция f из тонкого пространства X в равномерное пространство Y равномерно непрерывна. Это означает, что функтор F : CReg → Uni , который присваивает любому полностью регулярному пространству X точную однородность на X , сопряжен слева с функтором забывания, отправляющим однородное пространство в лежащее в его основе полностью регулярное пространство.
Явно, тонкая однородность на вполне регулярном пространстве X порождается всеми открытыми окрестностями D диагонали в X × X (с топологией произведения ) такими, что существует последовательность D 1 , D 2 , …открытых окрестностей диагонали с D = D 1 и .
Равномерность на вполне регулярном пространстве X, индуцированная C ( X ) (см. предыдущий раздел), не всегда является тонкой равномерностью.
Ссылки
[ редактировать ]- Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-486-43479-6 .