Тихоновское пространство

Аксиомы разделения
в топологических пространствах
Аксиомы разделения ; в топологических пространствах
Колмогорова Классификация
Т 0	(Kolmogorov)
Т 1	(Фреше)
Т 2	(Хаусдорф)
T 2 ½	(Урысон)
полностью Т 2	(полностью Хаусдорф)
TТ3	(обычный Хаусдорф)
T 3½	(Тихонов)
Т 4	(обычно Хаусдорф)
TТ5	(совершенно нормально ; Хаусдорф)
TТ6	(совершенно нормально ; Хаусдорф)
	История ;

В топологии разделах математики и смежных являются тихоновские пространства и вполне регулярные пространства разновидностями топологических пространств . Эти условия являются примерами аксиом разделения . Тихоновским пространством называется любое вполне регулярное пространство, которое также является пространством Хаусдорфа ; существуют вполне регулярные пространства, не тихоновские (т. е. не хаусдорфовские).

Пол Урысон использовал понятие полностью регулярного пространства в статье 1925 года. ^[1] не давая ему имени. Но в 1930 году ввел Андрей Тихонов терминологию совершенно устоявшуюся . ^[2]

Определения

Топологическое пространство $X$ называется вполне регулярным , если точки можно отделить от замкнутых множеств с помощью (ограниченных) непрерывных вещественных функций. Технически это означает: для любого замкнутого множества $A\subseteq X$ и любая точка $x\in X\setminus A,$ существует вещественная непрерывная функция $f:X\to \mathbb {R}$ такой, что $f(x)=1$ и $f\vert _{A}=0.$ (Эквивалентно можно выбрать любые два значения вместо $0$ и $1$ и даже требовать этого $f$ быть ограниченной функцией.)

Топологическое пространство называется тихоновским пространством (альтернативно: T _3½ пространство или T _π пространство или T ₃ полностью пространство ), если оно является полностью регулярным хаусдорфовым пространством .

Замечание. Вполне регулярные пространства и тихоновские пространства связаны понятием колмогоровской эквивалентности . Топологическое пространство является тихоновским тогда и только тогда, когда оно полностью регулярно и T ₀ . С другой стороны, пространство вполне регулярно тогда и только тогда, когда его фактор Колмогорова является тихоновским.

Соглашения об именах

В математической литературе применяются разные соглашения, когда речь идет о термине «полностью регулярный» и «Т»-аксиомах. Определения в этом разделе приведены в типичном современном использовании. Некоторые авторы, однако, меняют значения двух видов терминов или используют все термины как синонимы. В Википедии термины «полностью регулярный» и «Тихонов» используются свободно, а обозначения «Т» обычно избегают. Поэтому в стандартной литературе рекомендуется с осторожностью выяснять, какие определения использует автор. Подробнее об этом вопросе см. в разделе « История аксиом разделения» .

Примеры

Почти каждое топологическое пространство, изучаемое в математическом анализе, является тихоновским или, по крайней мере, полностью регулярным.Например, настоящая линия — Тихоновская в стандартной евклидовой топологии .Другие примеры включают в себя:

Каждое метрическое пространство тихоновское; каждое псевдометрическое пространство вполне регулярно.
Всякое локально компактное регулярное пространство вполне регулярно и, следовательно, всякое локально компактное хаусдорфово пространство тихоновское.
В частности, каждое топологическое многообразие тихоновское.
Всякое вполне упорядоченное множество с порядковой топологией является тихоновским.
Любая топологическая группа вполне регулярна.
Всякое псевдометризуемое пространство является вполне регулярным, но не тихоновским, если оно не хаусдорфово.
Каждое полунормированное пространство вполне регулярно (как потому, что оно псевдометризуемо, так и потому, что оно является топологическим векторным пространством и, следовательно, топологической группой). Но это не будет Тихонов, если полунорма не будет нормой.
Обобщая как метрические пространства, так и топологические группы, каждое равномерное пространство вполне регулярно. Верно и обратное: всякое вполне регулярное пространство униформизуемо.
Любой комплекс ХО – это Тихонов.
Всякое нормальное регулярное пространство вполне регулярно, а каждое нормальное хаусдорфово пространство тихоновское.
Плоскость Немицкого является примером ненормального тихоновского пространства .

Существуют регулярные хаусдорфовы пространства, которые не являются вполне регулярными, но такие примеры сложно построить. Один из них — так называемый тихоновский штопор . ^[3]^[4] который содержит две точки такие, что любая непрерывная вещественная функция в пространстве имеет одно и то же значение в этих двух точках. Еще более сложная конструкция начинается со штопор Тихонова и строит регулярное пространство Хаусдорфа, называемое конденсированным штопором Хьюитта . ^[5]^[6] которая не является полностью регулярной в более сильном смысле, а именно: каждая непрерывная вещественная функция в пространстве постоянна.

Характеристики

Сохранение

Полная регулярность и тихоновское свойство хорошо проявляются по отношению к исходным топологиям . В частности, полная регулярность сохраняется при выборе произвольных начальных топологий, а тихоновское свойство сохраняется при выборе начальных топологий, разделяющих точки. Отсюда следует, что:

Таким же свойством обладает каждое подпространство вполне регулярного или тихоновского пространства.
Непустое пространство произведений вполне регулярно (соответственно Тихонову) тогда и только тогда, когда каждое фактор-пространство вполне регулярно (соответственно Тихонову).

Как и все аксиомы разделения, полная регулярность не сохраняется при принятии окончательных топологий . В частности, факторы вполне регулярных пространств не обязательно должны быть регулярными . Факторы тихоновских пространств даже не обязательно должны быть хаусдорфовыми , причем одним элементарным контрпримером является линия с двумя началами . Существуют закрытые факторы плоскости Мура , которые дают контрпримеры.

Действительные непрерывные функции

Для любого топологического пространства $X,$ позволять $C(X)$ обозначим семейство вещественных непрерывных функций на $X$ и пусть $C_{b}(X)$ — подмножество ограниченных вещественнозначных непрерывных функций.

Вполне регулярные пространства можно охарактеризовать тем, что их топология полностью определяется $C(X)$ или $C_{b}(X).$ В частности:

Пространство $X$ вполне регулярен тогда и только тогда, когда он имеет начальную топологию, индуцированную $C(X)$ или $C_{b}(X).$
Пространство $X$ является вполне регулярным тогда и только тогда, когда каждое замкнутое множество можно записать как пересечение семейства нулевых множеств в $X$ (т.е. нулевые множества образуют основу для замкнутых множеств $X$ ).
Пространство $X$ вполне регулярен тогда и только тогда , когда $X$ составляют основу топологии $X.$

Учитывая произвольное топологическое пространство $(X,\tau )$ существует универсальный способ связать совершенно правильное пространство с $(X,\tau ).$ Пусть ρ — исходная топология на $X$ вызванный $C_{\tau }(X)$ или, что то же самое, топология, порожденная базисом конулевых множеств в $(X,\tau ).$ Тогда ρ будет наилучшей вполне регулярной топологией на $X$ это грубее, чем $\tau .$ Эта конструкция универсальна в том смысле, что любая непрерывная функция $f:(X,\tau )\to Y$ в совершенно регулярное пространство $Y$ будет продолжаться непрерывно $(X,\rho ).$ На языке теории категорий , функтор который отправляет $(X,\tau )$ к $(X,\rho )$ слева сопряжен с функтором включения CReg → Top . Таким образом, категория вполне регулярных пространств CReg является рефлексивной подкатегорией Top , категории топологических пространств . Взяв частное Колмогорова , можно увидеть, что подкатегория тихоновских пространств также является рефлексивной.

Можно показать, что $C_{\tau }(X)=C_{\rho }(X)$ в приведенной выше конструкции так, чтобы кольца $C(X)$ и $C_{b}(X)$ обычно изучаются только для полностью регулярных пространств $X.$

Категория вещественных компактов тихоновских пространств антиэквивалентна категории колец $C(X)$ (где $X$ вещественно компактен) вместе с кольцевыми гомоморфизмами как отображениями. Например, можно реконструировать $X$ от $C(X)$ когда $X$ (действительно) компактен. Поэтому алгебраическая теория этих колец является предметом интенсивных исследований.Обширным обобщением этого класса колец, которое все еще напоминает многие свойства тихоновских пространств, но также применимо в реальной алгебраической геометрии , является класс вещественных замкнутых колец .

Вложения

Тихоновские пространства — это именно те пространства, которые можно вложить в бикомпакты . Точнее, для каждого тихоновского пространства $X,$ существует компакт Хаусдорфа $K$ такой, что $X$ гомеоморфно подпространству $K.$

На самом деле, всегда можно выбрать $K$ быть тихоновским кубом (т.е. возможно бесконечным произведением единичных интервалов ). Каждый тихоновский куб компактен по Хаусдорфу как следствие теоремы Тихонова . Поскольку каждое подпространство бикомпакта является тихоновским, имеем:

Топологическое пространство является тихоновским тогда и только тогда, когда оно может быть вложено в тихоновский куб .

Компактификации

Особый интерес представляют те вложения, в которых образ $X$ плотный в $K;$ они называются компактификациями хаусдорфовыми $X.$ Учитывая любое вложение тихоновского пространства $X$ в компактном хаусдорфовом пространстве $K$ закрытие образа $X$ в $K$ представляет собой компактификацию $X.$ В той же статье 1930 г. ^[2] где Тихонов определил вполне регулярные пространства, он также доказал, что каждое тихоновское пространство имеет хаусдорфову компактификацию.

Среди этих компактификаций Хаусдорфа есть уникальная «наиболее общая» компактификация Стоуна – Чеха. $\beta X.$ Оно характеризуется тем универсальным свойством , что при непрерывном отображении $f$ от $X$ в любое другое компактное хаусдорфово пространство $Y,$ существует уникальная непрерывная карта $g:\beta X\to Y$ который простирается $f$ в том смысле, что $f$ это состав $g$ и $j.$

Однородные структуры

Полная регулярность — это именно то условие, необходимое для существования однородных структур в топологическом пространстве. Другими словами, каждое однородное пространство имеет вполне регулярную топологию и всякое вполне регулярное пространство $X$ является униформизируемым . Топологическое пространство допускает отделимую равномерную структуру тогда и только тогда, когда оно тихоновское.

Учитывая совершенно регулярное пространство $X$ обычно имеется более одного единообразия на $X$ который совместим с топологией $X.$ Однако всегда будет существовать тончайшая совместимая однородность, называемая тонкой однородностью на $X.$ Если $X$ тихоновская, то однородную структуру можно выбрать так, чтобы $\beta X$ становится завершением однородного пространства $X.$

См. также

Компактификация Стоуна-Чеха - универсальное отображение топологического пространства X в компактное хаусдорфово пространство βX, такое, что любое отображение X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX однозначно; если X — Тихонов, то X — плотное подпространство

Цитаты

^ Урысон, Пол (1925). «О толщине связных множеств». Математические летописи . 94 (1): 262–295. дои : 10.1007/BF01208659 . См. стр. 291 и 292.
^ Jump up to: ^а ^б Тихонов А. (1930). «О топологическом расширении пространств». Математические летописи . 102 (1): 544–561. дои : 10.1007/BF01782364 .
^ Уиллард 1970 , Задача 18G.
^ Steen & Seebach 1995 , Пример 90.
^ Steen & Seebach 1995 , Пример 92.
^ Хьюитт, Эдвин (1946). «О двух проблемах Урысона». Анналы математики . 47 (3): 503–509. дои : 10.2307/1969089 .

Библиография

Гиллман, Леонард ; Джерисон, Мейер (1960). Кольца непрерывных функций . Тексты для выпускников по математике, № 43 (переиздание Дувра). Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. п. xiii. ISBN 978-048681688-3 .
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . МР 0507446 .
Уиллард, Стивен (1970). Общая топология (переиздание в Дувре). Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6 .

[1] Урысон, Пол (1925). «О толщине связных множеств». Математические летописи . 94 (1): 262–295. дои : 10.1007/BF01208659 . См. стр. 291 и 292.

[tychonoff-1930-2] Jump up to: ^а ^б Тихонов А. (1930). «О топологическом расширении пространств». Математические летописи . 102 (1): 544–561. дои : 10.1007/BF01782364 .

[FOOTNOTEWillard1970Problem_18G-3] Уиллард 1970 , Задача 18G.

[FOOTNOTESteenSeebach1995Example_90-4] Steen & Seebach 1995 , Пример 90.

[FOOTNOTESteenSeebach1995Example_92-5] Steen & Seebach 1995 , Пример 92.

[6] Хьюитт, Эдвин (1946). «О двух проблемах Урысона». Анналы математики . 47 (3): 503–509. дои : 10.2307/1969089 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]