Тихоновский куб

В математике , а точнее в общей топологии , тихоновский куб — это обобщение единичного куба от произведения конечного числа единичных интервалов к произведению бесконечного, даже несчетного числа единичных интервалов. Тихоновский куб назван в честь Андрея Тихонова , который первым рассмотрел произвольное произведение топологических пространств и доказал в 1930-х годах, что тихоновский куб компактен . Позже Тихонов обобщил это на произведение совокупностей произвольных компактов. Этот результат теперь известен как теорема Тихонова и считается одним из наиболее важных результатов в общей топологии. ^[1]

Определение

Позволять $I$ обозначим единичный интервал $[0,1]$ . Учитывая кардинальное число $\kappa \geq \aleph _{0}$ , определим тихоновский куб веса $\kappa$ как пространство $I^{\kappa }$ с топологией продукта , т.е. продукт $\prod _{s\in S}I_{s}$ где $\kappa$ это мощность $S$ и для всех $s\in S$ , $I_{s}=I$ .

Куб Гильберта , $I^{\aleph _{0}}$ , является частным случаем тихоновского куба.

Характеристики

Аксиома выбора предполагается повсюду.

Тихоновский куб компактен.
Учитывая кардинальное число $\lambda \leq \kappa$ , пространство $I^{\lambda }$ встраивается в $I^{\kappa }$ .
Тихоновский куб. $I^{\kappa }$ является универсальным пространством для каждого компактного веса пространства $\kappa \geq \aleph _{0}$ .
Тихоновский куб. $I^{\kappa }$ является универсальным пространством для любого тихоновского веса пространства $\kappa \geq \aleph _{0}$ .
Характер $x\in I^{\kappa }$ является $\kappa$ .