Универсальное пространство

В математике универсальное пространство — это определенное метрическое пространство , содержащее все метрические пространства, размерность которых ограничена некоторой фиксированной константой. Аналогичное определение существует в топологической динамике .

Определение

Учитывая класс $\textstyle {\mathcal {C}}$ топологических пространств, $\textstyle \mathbb {U} \in {\mathcal {C}}$ является универсальным для $\textstyle {\mathcal {C}}$ если каждый член $\textstyle {\mathcal {C}}$ встраивается в $\textstyle \mathbb {U}$. Менгер изложил и доказал это $\textstyle d=1$ следующей теоремы. Теорему в полной общности доказал Нёбелинг.

Теорема: $\textstyle (2d+1)$-мерный куб $\textstyle [0,1]^{2d+1}$ универсален для класса компактных метрических пространств, размерность лебега накрытия которых меньше $\textstyle d$.

Нёбелинг пошел дальше и доказал:

Теорема: Подпространство $\textstyle [0,1]^{2d+1}$ состоящий из множества точек, не более $\textstyle d$ координаты которого рациональны, является универсальным для класса сепарабельных метрических пространств, размерность лебегового накрытия которых меньше $\textstyle d$.

Последняя теорема была обобщена Липскомбом на класс метрических пространств веса $\textstyle \alpha$, $\textstyle \alpha >\aleph _{0}$: Существует одномерное метрическое пространство $\textstyle J_{\alpha }$ такое, что подпространство $\textstyle J_{\alpha }^{2d+1}$ состоящий из множества точек, не более $\textstyle d$ координаты которого «рациональны» (определены соответствующим образом), является универсальным для класса метрических пространств, размерность лебегового накрытия которых меньше $\textstyle d$ и чей вес меньше $\textstyle \alpha$.

пространства в

Рассмотрим категорию топологических динамических систем. $\textstyle (X,T)$ состоящее из компактного метрического пространства $\textstyle X$ и гомеоморфизм $\textstyle T:X\rightarrow X$. Топологическая динамическая система $\textstyle (X,T)$ называется минимальным, если оно не имеет собственных непустых замкнутых $\textstyle T$-инвариантные подмножества. Оно называется бесконечным, если $\textstyle |X|=\infty$. Топологическая динамическая система $\textstyle (Y,S)$ называется фактором ​ $\textstyle (X,T)$ если существует непрерывное сюръективное отображение $\textstyle \varphi :X\rightarrow Y$ что является эквивариантным , т.е. $\textstyle \varphi (Tx)=S\varphi (x)$ для всех $\textstyle x\in X$.

Аналогично определению выше, учитывая класс $\textstyle {\mathcal {C}}$ топологических динамических систем, $\textstyle \mathbb {U} \in {\mathcal {C}}$ является универсальным для $\textstyle {\mathcal {C}}$ если каждый член $\textstyle {\mathcal {C}}$ встраивается в $\textstyle \mathbb {U}$ через эквивариантное непрерывное отображение. Линденштраус доказал следующую теорему:

Теорема : Позволять $\textstyle d\in \mathbb {N}$. Компактная метрическая топологическая динамическая система. $\textstyle (X,T)$ где $\textstyle X=([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }$ и $\textstyle T:X\rightarrow X$ – это сдвиговый гомеоморфизм $\textstyle (\ldots ,x_{-2},x_{-1},\mathbf {x_{0}} ,x_{1},x_{2},\ldots )\rightarrow (\ldots ,x_{-1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots )$

универсален для класса компактных метрических топологических динамических систем, средняя размерность которых строго меньше $\textstyle {\frac {d}{36}}$ и которые обладают бесконечным минимальным фактором.

В той же статье Линденштраусс спросил, какова наибольшая константа. $\textstyle c$ такая, что компактная метрическая топологическая динамическая система, средняя размерность которой строго меньше $\textstyle cd$ и обладающий бесконечным минимальным множителем, вкладывается в $\textstyle ([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }$. Результаты, приведенные выше, подразумевают $\textstyle c\geq {\frac {1}{36}}$. На вопрос ответили Линденштраусс и Цукамото. кто это показал $\textstyle c\leq {\frac {1}{2}}$ и Гутман и Цукамото кто это показал $\textstyle c\geq {\frac {1}{2}}$. Таким образом, ответ $\textstyle c={\frac {1}{2}}$.

См. также

• Универсальная собственность
• Урысон универсальное пространство
• Средний размер