Урысон универсальное пространство

Не путать Урысона с космосом .

— Универсальное пространство Урысона это некоторое метрическое пространство содержит все сепарабельные , которое особенно хорошо метрические пространства. Эта математическая концепция принадлежит Павлу Урысону .

Определение

Метрическое пространство ( U , d ) называется универсальным Урысоном. если он отделим и полон и обладает следующим свойством:

для любого конечного метрического пространства X , любой точки x в X и любого изометрического вложения f : X \{ x } → U существует изометрическое вложение F : X → U , которое расширяет f , т. е. такое, что F ( y ) = f ( y ) для всех y в X \ { x }.

Характеристики

Если U универсально по Урысону и X любое сепарабельное метрическое пространство, то существует изометрическое вложение f : X → U. — (Другие пространства разделяют это свойство: например, пространство l ^∞ всех ограниченных вещественных последовательностей с нормой супремума допускает изометрические вложения всех сепарабельных метрических пространств (« вложение Фреше »), как и пространство C[0,1] всех непрерывных функций [0,1]→ R , опять же с супремумом норма, результат благодаря Штефану Банаху .)

Более того, каждая изометрия между конечными подмножествами U расширяется до изометрии U на самого себя. Такого рода «однородность» фактически характеризует универсальные пространства Урысона: сепарабельное полное метрическое пространство, содержащее изометрический образ каждого сепарабельного метрического пространства, является универсальным Урысона тогда и только тогда, когда оно однородно в этом смысле.

Существование и уникальность

Урысон доказал, что универсальное пространство Урысона существует и что любые два универсальных пространства Урысона изометричны . Это можно увидеть следующим образом. Брать $(X,d),(X',d')$, два универсальных пространства Урысона. Они отделимы, поэтому зафиксируйте в соответствующих пространствах счетные плотные подмножества. $(x_{n})_{n},(x'_{n})_{n}$. Они должны быть по-настоящему бесконечными, поэтому с помощью обратных рассуждений можно поэтапно построить частичные изометрии. $\phi _{n}:X\to X'$ чей домен (соответственно диапазон) содержит $\{x_{k}:k<n\}$ (соответственно $\{x'_{k}:k<n\}$). Объединение этих карт определяет частичную изометрию $\phi :X\to X'$ чей домен соотв. диапазон плотен в соответствующих пространствах. И такие отображения распространяются (единственным образом) на изометрии, поскольку универсальное пространство Урысона должно быть полным.