Топологическая динамика
В математике топологическая динамика — раздел теории динамических систем , в котором качественные, асимптотические свойства динамических систем изучаются с точки зрения общей топологии .
Объем
[ редактировать ]Центральным объектом исследования топологической динамики является топологическая динамическая система , то есть топологическое пространство вместе с непрерывным преобразованием , непрерывным потоком или, в более общем смысле, полугруппой непрерывных преобразований этого пространства. Истоки топологической динамики лежат в изучении асимптотических свойств траекторий систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений , в частности поведения предельных множеств и различных проявлений «повторяемости» движения, таких как периодические траектории, возвратность и минимальность, устойчивость, неблуждающие точки . Джордж Биркгоф Основателем этой области считается . Структурная теорема для минимальных дистальных потоков, доказанная Гиллелем Фюрстенбергом в начале 1960-х годов, вдохновила на большую работу по классификации минимальных потоков. Множество исследований в 1970-х и 1980-х годах было посвящено топологической динамике одномерных отображений, в частности, кусочно-линейных автоотображений отрезка и окружности.
В отличие от теории гладких динамических систем, где основным объектом изучения является гладкое многообразие с диффеоморфизмом или гладкий поток, фазовые пространства, рассматриваемые в топологической динамике, являются общими метрическими пространствами (обычно компактными ). Это требует разработки совершенно других методов, но обеспечивает дополнительную степень гибкости даже в гладкой ситуации, поскольку инвариантные подмножества многообразия часто топологически очень сложны (ср. предельный цикл , странный аттрактор ); кроме того, пространства сдвигов , возникающие посредством символических представлений, можно рассматривать наравне с более геометрическими действиями. Топологическая динамика имеет тесную связь с эргодической теорией динамических систем, причем многие фундаментальные понятия последней имеют топологические аналоги (ср. энтропия Колмогорова-Синая и топологическая энтропия ).
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Д. В. Аносов (2001) [1994], «Топологическая динамика» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Джозеф Ауслендер (ред.). «Топологическая динамика» . Схоларпедия .
- Роберт Эллис, Лекции по топологической динамике . WA Benjamin, Inc., Нью-Йорк, 1969 г.
- Вальтер Готшальк , Густав Хедлунд , Топологическая динамика . Публикации коллоквиума Американского математического общества, Vol. 36. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1955 г.
- Ж. де Врис, Элементы топологической динамики . Математика и ее приложения, 257. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 1993. ISBN 0-7923-2287-8
- Итан Акин, Общая топология динамических систем , Книжный магазин AMS, 2010 г., ISBN 978-0-8218-4932-3
- Ж. де Врис, Топологические динамические системы: введение в динамику непрерывных отображений , Исследования Де Грюйтера по математике, 59, Де Грюйтер, Берлин, 2014, ISBN 978-3-1103-4073-0
- Цзянь Ли и Сян Донг Е, Недавнее развитие теории хаоса в топологической динамике , Acta Mathematica Sinica, английская серия, 2016, том 32, выпуск 1, стр. 83–114.