Самолет Мура

В математике плоскость Мура , также иногда называемая плоскостью Немицкого (или плоскостью Немыцкого , топологией касательного диска Немыцкого ), является топологическим пространством . Это вполне регулярное Хаусдорфово пространство (то есть тихоновское пространство ), которое не является нормальным . Это пример Мура неметризуемого пространства . Назван в честь Роберта Ли Мура и Виктора Владимировича Немыцкого .

Определение

Открытая окрестность плоскости Немицкого, касательная к оси x — Open neighborhood of the Niemytzki plane, tangent to the x-axis

Если $\Gamma$ это (замкнутая) верхняя полуплоскость $\Gamma =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|y\geq 0\}$ , то топология может быть определена на $\Gamma$ принимая локальный базис ${\mathcal {B}}(p,q)$ следующее:

Элементы локального базиса в точках $(x,y)$ с $y>0$ открытые диски в плоскости, которые достаточно малы, чтобы лежать внутри $\Gamma$ .
Элементы локального базиса в точках $p=(x,0)$ наборы $\{p\}\cup A$ где A — открытый диск в верхней полуплоскости, касательной к оси x в точке p .

То есть локальный базис определяется выражением

{\mathcal {B}}(p,q)={\begin{cases}\{U_{\epsilon }(p,q):=\{(x,y):(x-p)^{2}+(y-q)^{2}<\epsilon ^{2}\}\mid \epsilon >0\},&{\mbox{if }}q>0;\\\{V_{\epsilon }(p):=\{(p,0)\}\cup \{(x,y):(x-p)^{2}+(y-\epsilon )^{2}<\epsilon ^{2}\}\mid \epsilon >0\},&{\mbox{if }}q=0.\end{cases}}

Таким образом, топология подпространства , унаследованная $\Gamma \backslash \{(x,0)|x\in \mathbb {R} \}$ совпадает с топологией подпространства, унаследованной от стандартной топологии евклидовой плоскости.

Характеристики

Самолет Мура $\Gamma$ сепарабельно . , то есть имеет счетное плотное подмножество
Плоскость Мура — это вполне регулярное хаусдорфово пространство (т. е. тихоновское пространство ), которое не является нормальным .
Подпространство $\{(x,0)\in \Gamma |x\in R\}$ из $\Gamma$ имеет в качестве топологии подпространства дискретную топологию . Таким образом, плоскость Мура показывает, что подпространство сепарабельного пространства не обязательно должно быть сепарабельным.
Плоскость Мура является первой счетной , но не второй счетной или Линделефовой .
Плоскость Мура не является локально компактной .
Плоскость Мура счетно метакомпактна , но не метакомпактна .

Доказательство того, что самолет Мура не является нормальным

Тот факт, что это пространство $\Gamma$ не является нормальной, может быть установлено с помощью следующего подсчета аргументов (который очень похож на аргумент о том, что плоскость Соргенфрея ненормальна):

С одной стороны, счетное множество $S:=\{(p,q)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} :q>0\}$ точек с рациональными координатами плотно в $\Gamma$ ; следовательно, каждая непрерывная функция $f:\Gamma \to \mathbb {R}$ определяется его ограничением $S$ , поэтому может быть максимум $|\mathbb {R} |^{|S|}=2^{\aleph _{0}}$ множество непрерывных действительных функций на $\Gamma$ .
С другой стороны, реальная линия $L:=\{(p,0):p\in \mathbb {R} \}$ является замкнутым дискретным подпространством $\Gamma$ с $2^{\aleph _{0}}$ много точек. Итак, есть $2^{2^{\aleph _{0}}}>2^{\aleph _{0}}$ множество непрерывных функций от L до $\mathbb {R}$ . Не все эти функции можно расширить до непрерывных функций на $\Gamma$ .
Следовательно $\Gamma$ не является нормальным, потому что по теореме о продолжении Титце все непрерывные функции, определенные на замкнутом подпространстве нормального пространства, могут быть расширены до непрерывной функции на всем пространстве.