Пространство Мура (топология)

Чтобы узнать о других значениях, см. Пространство Мура (значения) .

В математике , точнее, в топологии множества точек , пространство Мура представляет собой развивающееся регулярное пространство Хаусдорфа . То есть топологическое пространство X является пространством Мура, если выполняются следующие условия:

• Любые две различные точки могут быть разделены окрестностями , а любое замкнутое множество и любая точка в его дополнении могут быть разделены окрестностями. ( X — регулярное хаусдорфово пространство .)
• Существует счетный набор открытых покрытий X в его дополнении существует такой, что для любого замкнутого множества C и любой точки p такое покрытие в наборе, что каждая окрестность точки p в покрытии не пересекается с C . ( X — развертывающееся пространство .)

Пространства Мура обычно интересны в математике, поскольку их можно применять для доказательства интересных теорем о метризации . Концепция пространства Мура была сформулирована Р.Л. Муром в начале 20 века.

Примеры и свойства

1. Каждое пространство X метризуемое является пространством Мура. Если { А ^{( н )} _x } — открытое покрытие X (индексированное x в X ) всеми шарами радиуса 1/ n , тогда совокупность всех таких открытых покрытий при n по положительным целым числам является развитием X. изменении Поскольку все метризуемые пространства нормальны, все метрические пространства являются пространствами Мура.
2. Пространства Мура во многом похожи на обычные пространства и отличаются от обычных пространств в том смысле, что каждое подпространство пространства Мура также является пространством Мура.
3. Образ пространства Мура под инъективным непрерывным открытым отображением всегда является пространством Мура. (Образ регулярного пространства при инъективном непрерывном открытом отображении всегда регулярен.)
4. Оба примера 2 и 3 показывают, что пространства Мура подобны регулярным пространствам.
5. Ни линия Соргенфрея , ни плоскость Соргенфрея не являются пространствами Мура, поскольку они нормальны и не счетны по счету .
6. Плоскость Мура (также известная как пространство Немицкого) является примером неметризуемого пространства Мура.
7. Всякое метакомпактное сепарабельное нормальное пространство Мура метризуемо. Эта теорема известна как теорема Трейлора.
8. Каждое локально компактное локально связное нормальное пространство Мура метризуемо. Эту теорему доказали Рид и Зенор.
9. Если $2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}$, то любое сепарабельное нормальное пространство Мура метризуемо . Эта теорема известна как теорема Джонса.

пространства

Долгое время топологи пытались доказать так называемую гипотезу нормального пространства Мура: любое нормальное пространство Мура метризуемо . Это было вызвано тем фактом, что все известные неметризуемые пространства Мура также не были нормальными. Это была бы хорошая теорема о метризации . Поначалу были некоторые хорошие частичные результаты; а именно свойства 7, 8 и 9, как указано в предыдущем разделе.

Благодаря свойству 9 мы видим, что можем исключить метакомпактность из теоремы Трейлора, но ценой теоретико-множественного предположения. Другим примером этого является теорема Флейсснера о том, что из аксиомы конструктивности следует, что локально компактные нормальные пространства Мура метризуемы.

С другой стороны, согласно гипотезе континуума (CH), а также аксиоме Мартина , а не CH, существует несколько примеров неметризуемых нормальных пространств Мура. Ньикос доказал, что в соответствии с так называемой PMEA (аксиомой расширения меры произведения), которая требует большого кардинала , все нормальные пространства Мура метризуемы. Наконец, позже было показано, что любая модель ZFC , в которой справедлива гипотеза, предполагает существование модели с большим кардиналом. Так что крупные кардиналы необходимы по существу.

Джонс (1937) привел пример псевдонормального пространства Мура, которое не метризуемо, поэтому гипотезу нельзя усилить таким образом. Сам Мур доказал теорему о том, что коллективно нормальное пространство Мура метризуемо, поэтому усиление нормальности — еще один способ решить проблему.

Ссылки

• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах , Контрпримеры в топологии , Dover Books, 1995. ISBN   0-486-68735-X
• Джонс, Ф.Б. (1937), «О нормальных и вполне нормальных пространствах» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 43 (10): 671–677, doi : 10.1090/S0002-9904-1937-06622-5 , MR   1563615 .
• Ньикос, Питер Дж. (2001), «История проблемы нормального пространства Мура», Справочник по истории общей топологии , Hist. Тополь., вып. 3, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. 1179–1212, ISBN.  9780792369707 , МР   1900271 .
• Оригинальное определение Р.Л. Мура можно найти здесь :

МИСТЕР 0150722 (27 #709) Мур, Р.Л. Основы теории множеств точек . Переработанное издание. Публикации коллоквиума Американского математического общества, Vol. XIII Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1962 xi + 419 стр. (Рецензент: Ф. Бертон Джонс)

• Историческую информацию можно найти здесь :

МИСТЕР 0199840 (33 #7980) Джонс, Ф. Бертон «Метризация». American Mathematical Monthly 73, 1966, 571–576. (Рецензент: Р. У. Бэгли)

• Историческую информацию можно найти здесь :

МИСТЕР 0203661 (34 #3510) Бинг, Р.Х. «Сложные гипотезы». American Mathematical Monthly 74, 1967, вып. 1, часть II, 56–64;

• Теорему Викери можно найти здесь :

МИСТЕР 0001909 (1,317f) Викери, К.В. «Аксиомы пространств Мура и метрических пространств». Бюллетень Американского математического общества 46 (1940). 560–564

• Эта статья включает в себя материалы из пространства Мура на PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .